Проблема вложения Конна - Connes embedding problem

Проблема вложения Конна , сформулированная Аленом Конном в 1970-х годах, является основной проблемой теории алгебр фон Неймана . За это время проблема была переформулирована в нескольких различных областях математики. Дэн Войкулеску, развивая свою теорию свободной энтропии, обнаружил, что проблема вложения Конна связана с существованием микросостояний. Некоторые результаты теории алгебр фон Неймана могут быть получены в предположении положительного решения проблемы. Проблема связана с некоторыми основными вопросами квантовой теории, которые привели к осознанию того, что она также имеет важное значение в информатике.

Задача допускает ряд эквивалентных постановок. Примечательно, что это эквивалентно следующим давним проблемам:

• Гипотеза Кирхберга о QWEP в теории C * -алгебр
• Проблема Цирельсона в квантовой теории информации
• Предвойство любой (сепарабельной) алгебры фон Неймана конечно представимо в классе следов.

В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэн объявили о результате квантовой теории сложности, который подразумевает отрицательный ответ на проблему вложения Конна.

Заявление

Пусть - свободный ультрафильтр на натуральных числах и пусть R - гиперконечный фактор типа II ₁ со следом . Ультрастепень можно построить следующим образом: пусть - алгебра фон Неймана ограниченных по норме последовательностей и пусть . Фактор оказывается фактором II ₁ со следом , где - любая репрезентативная последовательность . ${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle l ^ {\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ substeq R: \ sup _ {n} || x_ {n} || <\ infty \}}$${\ Displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ in l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} x_ {n}) ^ {\ frac {1} {2}} = 0 \}}$${\ Displaystyle R ^ {\ omega} = l ^ {\ infty} (R) / I _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ tau _ {R ^ {\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} + I _ {\ omega})}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ displaystyle x}$

Проблема вложения Конна спрашивает, может ли каждый фактор типа II ₁ на сепарабельном гильбертовом пространстве быть вложен в некоторый . ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$

Положительное решение проблемы будет означать, что инвариантные подпространства существуют для большого класса операторов в II-1-факторах ( Уффе Хаагеруп ); все счетные дискретные группы гиперлинейны . Положительное решение проблемы будет подразумеваться равенством между свободной энтропией и свободной энтропией, определяемой микросостоянием ( Дэн Войкулеску ). В январе 2020 года группа исследователей заявила, что решила проблему отрицательно, т. Е. Существуют факторы фон Неймана типа II _1, которые не входят в сверхмощность фактора гиперконечного II ₁ . ${\ displaystyle \ chi ^ {*}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$

Класс изоморфизма не зависит от ультрафильтра тогда и только тогда, когда гипотеза континуума верна (Ге-Хадвин и Фара-Харт-Шерман), но такое свойство вложения не зависит от ультрафильтра, поскольку алгебры фон Неймана, действующие на сепарабельных гильбертовых пространствах грубо говоря, очень маленькие. ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$

Задача допускает ряд эквивалентных постановок.

Конференции, посвященные проблеме вложения Конна

• Проблема вложения Конна и семинар по квантовой теории информации; Университет Вандербильта в Нэшвилле, Теннесси; 1-7 мая 2020 г. ( отложено; уточняется )
• Многогранная проблема вложения Конна; BIRS, Канада; 14-19 июля 2019 г.
• Зимняя школа: проблема вложения Конна и квантовая теория информации; Университет Осло, 7-11 января 2019 г.
• Практикум по софическим и гиперлинейным группам и гипотезе Конна вложения; UFSC Флорианополис, Бразилия; 10-21 июня 2018 г.
• Аппроксимационные свойства в операторных алгебрах и эргодическая теория; UCLA; 30 апреля - 5 мая 2018 г.
• Операторные алгебры и квантовая теория информации; Институт Анри Пуанкаре, Париж; Декабрь 2017 г.
• Практикум по операторным пространствам, гармоническому анализу и квантовой вероятности; ICMAT, Мадрид; 20 мая - 14 июня 2013 г.
• Полевой семинар по проблеме вложения Конна - Университет Оттавы, 16–18 мая 2008 г.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Капраро, Валерио (2010). "Обзор по гипотезе Конна вложения". arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, I .; Hart, B .; Шерман, Д. (2013). «Модельная теория операторных алгебр I: устойчивость». Бюллетень Лондонского математического общества . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . DOI : 10.1112 / БЛМ / bdt014 . S2CID  15024863 .
• Ge; Хэдвин (2001). «Ультрапроизведения C * -алгебр». Опер. Теория Adv. Прил . 127 : 305–326. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Коллинз, Бенуа; Дайкема, Кен (2008). «Линеаризация проблемы вложения Конна» (PDF) . Нью-Йоркский математический журнал . 14 : 617–641.
• Шерман, Дэвид (2008). "Заметки об автоморфизмах сверхспособностей факторов II ₁ ". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Пизье, Жиль . «Тензорные произведения C * -алгебр и операторных пространств: проблема Конна-Кирхберга» (PDF) .