Конгруэнтное число - Congruent number

В теории чисел , конгруэнтны число является положительным целым числом , что является площадь прямоугольного треугольника с тремя рациональным числом сторон. Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством.

Последовательность (целых) конгруэнтных чисел начинается с

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (последовательность A003273 в OEIS )

Например, 5 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (20/3, 3/2, 41/6). Точно так же 6 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (3,4,5). 3 и 4 не совпадают.

Если q - конгруэнтное число, то s ² q также конгруэнтное число для любого натурального числа s (просто умножив каждую сторону треугольника на s ), и наоборот. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его вычета в группе

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*} / \ mathbb {Q} ^ {* 2}}$,

где - множество ненулевых рациональных чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$

Каждый класс вычетов в этой группе содержит ровно одно целое число , свободное от квадратов , и поэтому обычно рассматривают только положительные целые числа без квадратов, когда говорят о конгруэнтных числах.

Проблема конгруэнтного числа

Вопрос о том, является ли данное рациональное число конгруэнтным числом, называется проблемой конгруэнтного числа . Эта проблема (по состоянию на 2019 год) не была доведена до успешного решения. Теорема Таннелла предоставляет легко проверяемый критерий для определения конгруэнтности числа; но его результат основан на гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера , которая до сих пор не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике , названная в честь Пьера де Ферма , утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным числом. Однако в том виде, в котором каждое сравнение (разница между последовательными элементами в арифметической прогрессии из трех квадратов) не является квадратом, оно уже было известно (без доказательства) Фибоначчи . Каждое конгруэнтное число является конгруэнтным числом, и каждое конгруэнтное число является произведением конгруэнтного числа и квадрата рационального числа. Однако определить, является ли число конгруэнтным, намного проще, чем определить, конгруэнтно ли оно, потому что существует параметризованная формула для конгруэнтности, для которой необходимо проверить только конечное число значений параметров.

Решения

n - конгруэнтное число тогда и только тогда, когда система

${\ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = u ^ {2}}$, ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2} = v ^ {2}}$

имеет решение, где и являются целыми числами. ${\ displaystyle x, y, u}$${\ displaystyle v}$

Учитывая решение, три числа , и будут в арифметической прогрессии с общей разницей . ${\ displaystyle u ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle v ^ {2}}$${\ displaystyle ny ^ {2}}$

Кроме того, если есть одно решение (где правые части - квадраты), то их бесконечно много: для любого решения другое решение может быть вычислено из ${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle (х ', у')}$

${\ displaystyle x '= (xu) ^ {2} + n (yv) ^ {2}}$,

${\ displaystyle y '= 2xyuv}$.

Например, с уравнениями: ${\ displaystyle n = 6}$

${\ displaystyle x ^ {2} -6y ^ {2} = u ^ {2}}$,

${\ displaystyle x ^ {2} + 6y ^ {2} = v ^ {2}}$.

Одно из решений (так что ). Другое решение ${\ displaystyle x = 5, y = 2}$${\ displaystyle u = 1, v = 7}$

${\ displaystyle x '= (5 \ cdot 1) ^ {2} +6 (2 \ cdot 7) ^ {2} = 1201}$,

${\ Displaystyle у '= 2 \ CDOT 5 \ CDOT 2 \ CDOT 1 \ CDOT 7 = 140}$.

С этим новым и правые части по-прежнему остаются квадратами: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle u ^ {2} = 1201 ^ {2} -6 \ cdot 140 ^ {2} = 1324801 = 1151 ^ {2}}$

${\ displaystyle v ^ {2} = 1201 ^ {2} +6 \ cdot 140 ^ {2} = 1560001 = 1249 ^ {2}}$.

Учитывая , и , можно получить , и такое, что ${\ displaystyle x, y, u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$, а также ${\ displaystyle {\ frac {ab} {2}} = n}$

из

${\ displaystyle a = {\ frac {vu} {y}}}$, , .${\ displaystyle b = {\ frac {v + u} {y}}}$${\ displaystyle c = {\ frac {2x} {y}}}$

Тогда и - катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника с площадью . ${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle n}$

Приведенные выше значения производят . Значения дают . Оба прямоугольных треугольника имеют площадь . ${\ Displaystyle (х, у, и, v) = (5,2,1,7)}$${\ Displaystyle (а, Ь, с) = (3,4,5)}$${\ displaystyle (1201,140,1151,1249)}$${\ Displaystyle (а, Ь, с) = (7 / 10,120 / 7,1201 / 70)}$${\ displaystyle n = 6}$

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос о конгруэнтности данного числа оказывается эквивалентным условию положительного ранга некоторой эллиптической кривой . Альтернативный подход к этой идее представлен ниже (по сути, его также можно найти во введении к статье Туннелла).

Предположим, что a , b , c - числа (не обязательно положительные или рациональные), которые удовлетворяют следующим двум уравнениям:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a ^ {2} + b ^ {2} & = & c ^ {2}, \\ {\ tfrac {1} {2}} ab & = & n. \ end {matrix}} }$

Затем положим x = n ( a + c ) / b и y = 2 n ² ( a + c ) / b ² . Расчет показывает

${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}$

и y не равен 0 (если y = 0, то a = - c , поэтому b = 0 , но ( 1 ⁄ 2 ) ab = n ненулевое значение; противоречие).

И наоборот, если x и y - числа, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению, а y не равно 0, установите a = ( x ² - n ² ) / y , b = 2 nx / y и c = ( x ² + n ² ) / у . Расчет показывает, что эти три числа удовлетворяют двум приведенным выше уравнениям a , b и c .

Эти два соответствия между ( a , b , c ) и ( x , y ) являются обратными друг другу, поэтому у нас есть взаимно однозначное соответствие между любым решением двух уравнений в a , b и c и любым решением уравнения относительно x и y с отличным от нуля y . В частности, из формул в двух соответствиях для рационального n мы видим, что a , b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также имеем, что все a , b и c положительны тогда и только тогда, когда все x и y положительны; из уравнения y ² = x ³ - xn ² = x ( x ² - n ² ) мы видим, что если x и y положительны, тогда x ² - n ² должны быть положительными, поэтому формула для a выше положительна.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда уравнение y ² = x ³ - n ² x имеет рациональную точку с y, не равным 0. Это может быть показано (как применение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии ), что единственные точки кручения на этой эллиптической кривой - это те, у которых y равно 0, поэтому существование рациональной точки с y ненулевым равносильно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Другой подход к решению - начать с целочисленного значения n, обозначенного как N, и решить

${\ displaystyle N ^ {2} = ed ^ {2} + e ^ {2}}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {matrix} c & = & n ^ {2} / e + e \\ a & = & 2n \\ b & = & n ^ {2} / ee \ end {matrix}}}$

Наименьшие решения

Ниже приводится список рациональных решений и с конгруэнтным числом n и наименьшим числителем для c . (мы предполагаем, что a < b ; a не может быть равно b , потому что если это так, то , но не является рациональным числом; следовательно, c и a не являются одновременно рациональными числами, потому что если бы они были, то c / a = было бы рациональный). ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {ab} {2}} = n}$${\ displaystyle c = {\ sqrt {2}} a}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Дэвид Голдберг вычислил конгруэнтные числа без квадратов меньше 10 ⁴ вместе с соответствующими значениями a и b .

п	а	б	c
5	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {20} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {41} {6}}}$
6	3	4	5
7	${\ displaystyle {\ frac {35} {12}}}$	${\ displaystyle {\ frac {24} {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {337} {60}}}$
13	${\ displaystyle {\ frac {780} {323}}}$	${\ displaystyle {\ frac {323} {30}}}$	${\ displaystyle {\ frac {106921} {9690}}}$
14	${\ displaystyle {\ frac {8} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {21} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {65} {6}}}$
15	4	${\ displaystyle {\ frac {15} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {17} {2}}}$
20	3	${\ displaystyle {\ frac {40} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {41} {3}}}$
21 год	${\ displaystyle {\ frac {7} {2}}}$	12	${\ displaystyle {\ frac {25} {2}}}$
22	${\ displaystyle {\ frac {33} {35}}}$	${\ displaystyle {\ frac {140} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {4901} {105}}}$
23	${\ displaystyle {\ frac {80155} {20748}}}$	${\ displaystyle {\ frac {41496} {3485}}}$	${\ displaystyle {\ frac {905141617} {72306780}}}$
24	6	8	10
28 год	${\ displaystyle {\ frac {35} {6}}}$	${\ displaystyle {\ frac {48} {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {337} {30}}}$
29	${\ displaystyle {\ frac {99} {910}}}$	${\ displaystyle {\ frac {52780} {99}}}$	${\ displaystyle {\ frac {48029801} {90090}}}$
30	5	12	13
31 год	${\ displaystyle {\ frac {720} {287}}}$	${\ displaystyle {\ frac {8897} {360}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2566561} {103320}}}$
34	${\ displaystyle {\ frac {17} {6}}}$	24	${\ displaystyle {\ frac {145} {6}}}$
37	${\ displaystyle {\ frac {450660} {777923}}}$	${\ displaystyle {\ frac {777923} {6090}}}$	${\ displaystyle {\ frac {605170417321} {4737551070}}}$
38	${\ displaystyle {\ frac {1700} {279}}}$	${\ displaystyle {\ frac {5301} {425}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1646021} {118575}}}$
39	${\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {156} {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {313} {10}}}$
41 год	${\ displaystyle {\ frac {123} {20}}}$	${\ displaystyle {\ frac {40} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {881} {60}}}$
45	${\ displaystyle {\ frac {9} {2}}}$	20	${\ displaystyle {\ frac {41} {2}}}$
46	${\ displaystyle {\ frac {253} {42}}}$	${\ displaystyle {\ frac {168} {11}}}$	${\ displaystyle {\ frac {7585} {462}}}$
47	${\ displaystyle {\ frac {11547216} {2097655}}}$	${\ displaystyle {\ frac {98589785} {5773608}}}$	${\ displaystyle {\ frac {217287944875297} {12111037689240}}}$
52	${\ displaystyle {\ frac {1560} {323}}}$	${\ displaystyle {\ frac {323} {15}}}$	${\ displaystyle {\ frac {106921} {4845}}}$
53	${\ displaystyle {\ frac {1472112483} {202332130}}}$	${\ displaystyle {\ frac {21447205780} {1472112483}}}$	${\ displaystyle {\ frac {4850493897329785961} {297855654284978790}}}$
54	9	12	15
55	${\ displaystyle {\ frac {1100} {117}}}$	${\ displaystyle {\ frac {117} {10}}}$	${\ displaystyle {\ frac {17561} {1170}}}$
56	${\ displaystyle {\ frac {16} {3}}}$	21 год	${\ displaystyle {\ frac {65} {3}}}$
60	8	15	17
61	${\ displaystyle {\ frac {6428003} {1423110}}}$	${\ displaystyle {\ frac {173619420} {6428003}}}$	${\ displaystyle {\ frac {250510625883241} {9147755349330}}}$
...	...	...	...
101	${\ displaystyle {\ frac {267980280100} {44538033219}}}$	${\ displaystyle {\ frac {44538033219} {1326635050}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2015242462949760001961} {59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	${\ displaystyle {\ frac {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}$	${\ displaystyle {\ frac {411340519227716149383203} {21666555693714761309610}}}$	${\ displaystyle {\ frac {224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}}}$

Текущий прогресс

Была проделана большая работа по классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно, что для простого числа p выполняется следующее:

• если p ≡ 3 ( mod 8) , то p не конгруэнтное число, но 2 p конгруэнтное число.
• если p ≡ 5 (mod 8) , то p конгруэнтное число.
• если p ≡ 7 (mod 8) , то p и 2 p - конгруэнтные числа.

Также известно, что в каждом из классов сравнения 5, 6, 7 (mod 8) для любого заданного k существует бесконечно много конгруэнтных чисел без квадратов с k простыми множителями.

Примечания

использованная литература

• Alter, Рональд (1980), "конгруэнтный номер Проблема", American Mathematical Monthly , Математическая ассоциация Америки, 87 (1): 43-45, DOI : 10,2307 / 2320381 , JSTOR  2320381
• Chandrasekar, В. (1998), "конгруэнтный Номер задача" (PDF) , Резонанс , 3 (8): 33-45, DOI : 10.1007 / BF02837344
• Диксон, Леонард Юджин (2005), «Глава XVI», История теории чисел , Dover Books on Mathematics, Volume II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 |volume=имеет дополнительный текст ( справка ) - Смотрите, историю проблемы.
• Гай, Ричард (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Проблемные книги по математике (книга 1) (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl  1058,11001 - На него дано много ссылок.
• Таннелл, Джеррольд Б. (1983), «Классическая диофантова проблема и модульные формы веса 3/2» , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Bibcode : 1983InMat..72..323T , doi : 10.1007 / BF01389327 , ЛВП : 10338.dmlcz / 137483

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конгруэнтное число» . MathWorld .
• Краткое обсуждение текущего состояния проблемы со многими ссылками можно найти в книге Алисы Сильверберг « Открытые вопросы по арифметической алгебраической геометрии» (Postscript).
• Триллион треугольников - математики разрешили первый триллион случаев (в зависимости от гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера ).