Замешательство обратного - Confusion of the inverse

Путаница с обратным , также называемая ошибкой условной вероятности или ошибкой обратной , является логической ошибкой, при которой условная вероятность приравнивается к своей обратной; что, учитывая два события A и B , то вероятность А Происходящее при условии , что B произошло предполагается примерно такой же , как вероятность B дано А , когда на самом деле нет доказательств этого предположения. Более формально предполагается , что P ( A | B ) приблизительно равно P ( B | A ).

Примеры

Пример 1

Относительный
размер
Злокачественный Доброкачественный Общее

Положительный результат теста
0,8
(истинно положительный)
9,9
(ложноположительный)
10,7
Тест
отрицательный
0,2
(ложноотрицательный)
89,1
(истинно отрицательное)
89,3
Общее 1 99 100

В одном исследовании врачей попросили указать шансы злокачественного новообразования с априорной вероятностью возникновения 1% . Тест может обнаружить 80% злокачественных новообразований и имеет 10% ложноположительных результатов. Какова вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста? Примерно 95 из 100 врачей ответили, что вероятность злокачественного новообразования составит около 75%, по-видимому, потому, что врачи полагали, что шансы на злокачественное новообразование при положительном результате теста примерно такие же, как шансы на положительный результат теста при злокачественном новообразовании.

Правильная вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста, как указано выше, составляет 7,5%, что определяется теоремой Байеса :

Другие примеры путаницы включают:

  • Потребители сильных наркотиков склонны употреблять марихуану ; следовательно, потребители марихуаны, как правило, употребляют сильнодействующие наркотики (первая вероятность - это употребление марихуаны с учетом употребления тяжелых наркотиков, вторая - это употребление тяжелых наркотиков с учетом употребления марихуаны).
  • Большинство несчастных случаев происходит в пределах 25 миль от дома; поэтому вы в большей безопасности, когда находитесь далеко от дома.
  • Террористы, как правило, имеют инженерное образование; Итак, инженеры имеют склонность к терроризму.

Для других ошибок в условной вероятности см. Проблему Монти Холла и ошибку базовой ставки . Сравните с незаконным обращением .

Пример 2

Относительный
размер (%)
Больной Хорошо Общее

Положительный результат теста
0,99
(истинно положительный)
0,99
(ложноположительный)
1,98
Тест
отрицательный
0,01
(ложноотрицательный)
98.01
(истинно отрицательное)
98,02
Общее 1 99 100

Чтобы выявить людей, страдающих серьезным заболеванием в ранней излечимой форме, можно рассмотреть возможность обследования большой группы людей. Хотя преимущества очевидны, аргументом против таких обследований является нарушение, вызванное ложноположительными результатами скрининга: если у человека, не страдающего этим заболеванием, будет неправильно установлено его при первоначальном обследовании, он, скорее всего, будет расстроен, и даже если он впоследствии пройдут более тщательный анализ, и им скажут, что они здоровы, но это может отрицательно сказаться на их жизни. Если они прибегнут к ненужному лечению болезни, они могут пострадать из-за побочных эффектов и затрат на лечение.

Масштабы этой проблемы лучше всего понять с точки зрения условных вероятностей.

Допустим, 1% группы страдает заболеванием, а остальные здоровы. Выбирая человека наугад,

Предположим, что когда скрининговый тест применяется к человеку, не страдающему заболеванием, существует 1% шанс получить ложноположительный результат (и, следовательно, 99% шанс получить истинно отрицательный результат, число, известное как специфичность теста. ), т.е.

Наконец, предположим, что когда тест применяется к человеку, страдающему заболеванием, существует 1% вероятность ложноотрицательного результата (и 99% вероятность получения истинно положительного результата, известная как чувствительность теста), т. Е.

Расчеты

Доля людей во всей группе, которые здоровы и имеют отрицательный результат теста (истинно отрицательный):

Доля людей во всей группе, которые больны и имеют положительный результат теста (истинно положительный):

Доля лиц во всей группе, у которых были ложноположительные результаты:

Доля лиц во всей группе с ложноотрицательными результатами:

Кроме того, доля лиц во всей группе с положительным результатом теста:

Наконец, вероятность того, что человек действительно болен, при положительном результате теста:

Заключение

В этом примере должно быть легко соотнести с разницей между условными вероятностями P (положительный | ill), которая с предполагаемыми вероятностями составляет 99%, и P (ill | positive), которая составляет 50%: первая - это вероятность того, что человек, у которого есть положительный результат теста на заболевание; вторая - вероятность того, что человек с положительным результатом теста действительно болен. Таким образом, с вероятностями, выбранными в этом примере, примерно такое же количество людей получит преимущества раннего лечения, как и те, кто обеспокоен ложными срабатываниями; эти положительные и отрицательные эффекты можно затем учитывать при принятии решения о проведении скрининга или, если возможно, о корректировке критериев теста для уменьшения количества ложноположительных результатов (возможно, за счет большего количества ложноотрицательных результатов).

Смотрите также

Заметки

Рекомендации