Голоморфная функция - Holomorphic function

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформным отображением f (внизу).

В математике голоморфная функция - это комплексная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки в области в комплексном координатном пространстве C n . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: оно означает, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитическому ). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения комплексного анализа .

Хотя термин « аналитическая функция» часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которая может быть записана как сходящийся степенной ряд. в окрестности каждой точки в своей области . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа .

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . Голоморфная функция, область определения которой - вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфный в точке z 0 » означает не просто дифференцируемый в точке z 0 , но дифференцируемый всюду в пределах некоторой окрестности z 0 на комплексной плоскости.

Определение

Функция f ( z ) = не является комплексно дифференцируемой в нуле, потому что, как показано выше, значение f ( z ) - f (0) / z - 0 изменяется в зависимости от направления, с которого приближается к нулю. Вдоль вещественной оси f равно функции g ( z ) = z, а предел равен 1 , а по мнимой оси f равен h ( z ) = - z, а предел равен −1 . Другие направления дают другие ограничения.

Учитывая комплексная функция F одного комплексного переменного, производная от F в точке г 0 в своей области определяется пределом

Это то же самое, что и определение производной для реальных функций , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется, когда комплексное число z приближается к z 0 и должно иметь одно и то же значение для любой последовательности комплексных значений z, которые приближаются к z 0 на комплексной плоскости. Если существует предел, то мы говорим , что е является сложным дифференцируема в точке г 0 . Эта концепция сложных дифференциальных акций несколько свойств с реальной дифференцируемостью : это линейное и повинуется правило продукта , частное правило , и правило цепи .

Если е является сложным дифференцируема в каждой точке г 0 в открытом множестве U , мы говорим , что е является голоморфной на U . Будем говорить , что е является голоморфной в точке г 0 , если е является сложным дифференцируема в некоторой окрестности г 0 . Будем говорить , что е голоморфен на нек-открытого множества А , если она голоморфна в окрестности от А . В качестве патологического не примера, функция, заданная формулой f ( z ) = | z  | 2 является комплексно дифференцируемым ровно в одной точке ( z 0 = 0 ), и по этой причине он не голоморфен в 0, потому что нет открытого множества вокруг 0, на котором f является комплексно дифференцируемым.

Связь между действительной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) голоморфна, то u и v имеют первые частные производные по x и y и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана :

или, что то же самое, производная Виртингера функции f по , комплексно сопряженной к z , равна нулю:

То есть, грубо говоря, f функционально не зависит от комплексно сопряженного z .

Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема ЛуманаМеншгофа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f является голоморфный.

Терминология

Термин голоморфный был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жан-Клодом Буке , двумя учениками Огюстена-Луи Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), означающего «целое», и μορφή ( morphḗ ), что означает «форма» или «внешний вид» или «тип», в отличие от термина « мероморфный», производного от μέρος ( méros ), означающего «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, в то время как мероморфная функция (определенная как голоморфная, за исключением определенных изолированных полюсов ) напоминает рациональную долю («часть») целых функций в области. комплексной плоскости. Вместо этого Коши использовал термин синектика .

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Характеристики

Поскольку комплексное дифференцирование является линейным и подчиняется правилам произведения, частного и цепного, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно там, где знаменатель не равен нулю. То есть, если функции f и g голоморфны в области U , то также f + g , f - g , f g и f  ∘  g . Кроме того, f  /  g голоморфна, если g не имеет нулей в U , или мероморфна в противном случае.

Если отождествить C с вещественной плоскостью R 2 , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух вещественных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши – Римана , набор из двух дифференциальных уравнений в частных производных .

Каждая голоморфная функция может быть разделена на действительные и мнимые части е ( х + I Y ) = ¯u ( х , у ) + I V ( х , у ) , и каждый из них представляет собой гармоническую функцию на R 2 (каждый удовлетворяет уравнение Лапласа 2 U = ∇ 2 V = 0 ), с об с гармоническим конъюгатом из U . Наоборот, каждая гармоническая функция u ( x , y ) в односвязной области Ω ⊂ R 2 является действительной частью голоморфной функции: если v - гармоническое сопряжение u , единственное с точностью до константы, то f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) голоморфно.

Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю:

Здесь γ - спрямляемый путь в односвязной комплексной области UC , начальная точка которого совпадает с ее конечной точкой, а f  : UC - голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска , полностью определяется своими значениями на границе диска. Более того: предположим, что UC - комплексная область, f  : UC - голоморфная функция и замкнутый круг D = {  z  : | z - z 0 | ≤ г  } будет полностью содержится в U . Пусть γ быть круг , образующий границу из D . Тогда для любого а в интерьере из D :

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производная f ′ ( a ) может быть записана в виде контурного интеграла, используя формулу дифференцирования Коши :

для любой простой петли, намотанной один раз на a , и

для бесконечно малых положительных петель γ вокруг a .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур.

Каждая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция f имеет производные любого порядка в каждой точке a в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в точке a в окрестности точки a . Фактически, f совпадает со своим рядом Тейлора в точке a в любом круге с центром в этой точке и лежащим в области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, набор голоморфных функций в открытом множестве U является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связано. Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , в котором полунормы являются супремумом на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения, функция F голоморфна в точке г 0 тогда и только тогда , когда ее внешняя производная DF в окрестности U из г 0 равен е '( г )  дг для некоторой непрерывной функции F ' . Это следует из

что df ' также пропорционально dz , из чего следует, что производная f ' голоморфна и, следовательно, f бесконечно дифференцируема. Точно так же, д ( е дг ) = е ' дгдг = 0 означает , что любая функция F , голоморфная на односвязной области U также интегрируем на U .

(Для пути γ от z 0 до z, целиком лежащего в U , определим в свете теоремы Жордана и обобщенной теоремы Стокса , F γ ( z ) не зависит от конкретного выбора пути γ , и, следовательно, F ( z ) является корректно определенной функцией на U, имеющей F ( z 0 ) = F 0 и dF = f dz .)

Примеры

Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами являются целыми функциями (голоморфными во всей комплексной плоскости C ), как и экспоненциальная функция exp z и тригонометрические функции и (см . Формулу Эйлера ). Главная ветвь из сложного логарифм функции журнала г голоморфна на области C \ {  гR  : Z ≤ 0}. Функция квадратного корня может быть определена как и поэтому голоморфна везде, где находится логарифм log z . Обратная функция 1 /  г голоморфен на C \ {0}. (Взаимная функция, и любая другая рациональная функция , является мероморфна на C ) .

Как следствие уравнений Коши – Римана , любая голоморфная вещественная функция должна быть постоянной . Следовательно, абсолютное значение | z  | , аргумент arg ( z ) , действительная часть Re ( z ) и мнимая часть Im ( z ) не голоморфны. Другой типичный пример неголоморфной непрерывной функции - комплексно сопряженная функция z̅ . (Комплексное сопряжение антиголоморфно .)

Несколько переменных

Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Пусть D , чтобы быть полидиск , а также, обозначим открытое подмножество C п , и пусть F  : DC . Функция f является аналитической в точке p в D, если существует открытая окрестность точки p, в которой f равна сходящемуся степенному ряду от n комплексных переменных. Определим f как голоморфную, если она аналитична в каждой точке своей области определения. Лемма Осгуда показывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции f это эквивалентно тому, что f голоморфна по каждой переменной в отдельности (что означает, что если фиксированы любые n - 1 координаты, то ограничение f является голоморфным функция оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что гипотеза непрерывности не нужна: f голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности.

В более общем плане функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких сложных переменных в некоторых основных отношениях сложнее, чем функции одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти области представляют собой логарифмически выпуклые области Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых есть голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .

Комплекс дифференциал ( р , 0) -форма α голоморфен тогда и только тогда , когда его антиголоморфное производное Дольбо равно нуль, α = 0 .

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции распространяется на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. OCLC  2370110 .

внешние ссылки