Проблема угла часов - Clock angle problem

На диаграмме показаны углы, образованные стрелками аналоговых часов, показывающих время 2:20.

Задачи об угле часов - это тип математических задач, которые включают определение угла между стрелками аналоговых часов .

Математическая задача

Проблемы угла часов связаны с двумя разными измерениями: углом и временем . Угол обычно измеряется в градусах от отметки номер 12 по часовой стрелке. Время обычно указывается в 12-часовом формате .

Метод решения таких проблем - это рассмотрение скорости изменения угла в градусах в минуту. Часовая стрелка обычных 12-часовых аналоговых часов поворачивается на 360 ° за 12 часов (720 минут) или 0,5 ° в минуту. Минутная стрелка вращается на 360 ° за 60 минут или 6 ° в минуту.

Уравнение угла часовой стрелки

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {hr}} = 0,5 ^ {\ circ} \ times M _ {\ Sigma} = 0,5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times H + M)}$

куда:

• θ - угол в градусах руки, измеренный по часовой стрелке от 12
• H - час.
• M - это минуты в часе.
• M _Σ - количество минут с 12 часов.${\ Displaystyle M _ {\ Sigma} = (60 \ раз H + M)}$

Уравнение угла минутной стрелки

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {min.}} = 6 ^ {\ circ} \ times M}$

куда:

• θ - угол в градусах стрелки, измеренный по часовой стрелке из положения «12 часов».
• М - минута.

Пример

Время 5:24. Угол часовой стрелки в градусах:

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {hr}} = 0,5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times 5 + 24) = 162 ^ {\ circ}}$

Угол минутной стрелки в градусах составляет:

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {min.}} = 6 ^ {\ circ} \ times 24 = 144 ^ {\ circ}}$

Уравнение угла между руками

Угол между руками можно найти по следующей формуле:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ theta & = \ vert \ theta _ {\ text {hr}} - \ theta _ {\ text {min.}} \ vert \\ & = \ vert 0.5 ^ { \ circ} \ times (60 \ times H + M) -6 ^ {\ circ} \ times M \ vert \\ & = \ vert 0,5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times H + M) -0,5 ^ {\ circ} \ times 12 \ times M \ vert \\ & = \ vert 0,5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times H-11 \ times M) \ vert \\\ конец {выровнено}}}$

куда

• H час
• М это минута

Если угол больше 180 градусов, вычтите его из 360 градусов.

Пример 1

Время 2:20.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ theta & = \ vert 0,5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times 2-11 \ times 20) \ vert \\ & = \ vert 0,5 ^ {\ circ} \ times (120-220) \ vert \\ & = 50 ^ {\ circ} \ end {выровнено}}}$

Пример 2

Время 10:16.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ theta & = \ vert 0,5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times 10-11 \ times 16) \ vert \\ & = \ vert 0,5 ^ {\ circ} \ times (600-176) \ vert \\ & = 212 ^ {\ circ} \ \ (> 180 ^ {\ circ}) \\ & = 360 ^ {\ circ} -212 ^ {\ circ} \\ & = 148 ^ {\ circ} \ end {выровнено}}}$

Когда накладываются часовая и минутная стрелки часов?

В этом графическом решении T обозначает время в часах; P - положение рук; и θ , углы стрелок в градусах. Красная (толстая сплошная) линия обозначает часовую стрелку; синие (тонкие сплошные) линии обозначают минутную стрелку. Их пересечения (красные квадраты) - это когда они выравниваются. Кроме того, оранжевые круги (штрих-пунктирная линия) - это когда руки находятся в оппозиции, а розовые треугольники (пунктирная линия) - когда они перпендикулярны. В файле SVG наведите указатель мыши на график, чтобы показать положение стрелок на циферблате.

Часовая и минутная стрелки накладываются друг на друга только при одинаковом угле наклона.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {\ text {min}} & = \ theta _ {\ text {hr}} \\\ Rightarrow 6 ^ {\ circ} \ times M & = 0.5 ^ {\ circ } \ times (60 \ times H + M) \\\ Rightarrow 12 \ times M & = 60 \ times H + M \\\ Rightarrow 11 \ times M & = 60 \ times H \\\ Rightarrow M & = {\ frac {60 } {11}} \ times H \\\ Rightarrow M & = 5. {\ Overline {45}} \ times H \ end {align}}}$

H - целое число в диапазоне 0–11. Это дает время: 0:00, 1:05. 45 , 2:10. 90 , 3:16. 36 , 4:21. 81 , 5:27. 27 . 6:32. 72 , 7:38. 18 , 8:43. 63 , 9:49. 09 , 10:54. 54 и 12:00. (0. 45 минут ровно 27. 27 секунд.)

Смотрите также

• Положение часов

использованная литература

внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - подробный анализ угла поворота часов
• https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm