Знаменатели клиринга - Clearing denominators

В математике метод очистки знаменателей , также называемый очисткой дробей , представляет собой метод упрощения уравнения, приравнивающего два выражения, каждое из которых является суммой рациональных выражений, включающих простые дроби .

Пример

Рассмотрим уравнение

${\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {y} {15z}} = 1.}$

Наименьшее общее кратное двух знаменателей 6 и 15 г 30 г , так что одна умножает обе стороны на 30 г :

${\ Displaystyle 5xz + 2y = 30z. \,}$

В результате получается уравнение без дробей.

Упрощенное уравнение не полностью эквивалентно исходному. Когда мы подставляем y = 0 и z = 0 в последнее уравнение, обе части упрощаются до 0, поэтому мы получаем 0 = 0 , математическую истину. Но та же самая замена, примененная к исходному уравнению, дает x / 6 + 0/0 = 1 , что математически бессмысленно .

Описание

Без ограничения общности мы можем считать, что правая часть уравнения равна 0, поскольку уравнение E ₁ = E ₂ может быть эквивалентно переписано в виде E ₁ - E ₂ = 0 .

Итак, пусть уравнение имеет вид

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = 0.}$

Первый шаг состоит в определении общий знаменатель D этих фракций - предпочтительно по наименьшим общим знаменателем , который является наименьшее общее кратное из Q _я .

Это означает , что каждый Q _я является фактором из D , так что Д = Р _я Q _я для некоторого выражения R _я , который не является фракцией. Затем

${\ Displaystyle {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {R_ {i} Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} \ ,,}$

при условии, что R _i Q _i не принимает значение 0 - в этом случае также D равно 0.

Итак, теперь у нас есть

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {R_ { i} P_ {i}} {D}} = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0.}$

При условии, что D не принимает значение 0, последнее уравнение эквивалентно

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} R_ {я} P_ {я} = 0 \ ,,}$

в котором знаменатели исчезли.

Как показано условием, уход должен быть принят , чтобы не вводить нули из D - рассматриваются как функция от неизвестных уравнения - в качестве ложных решений .

Пример 2

Рассмотрим уравнение

${\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} + {\ frac {1} {x (x + 2)}} - {\ frac {1} {(x + 1) (x + 2)}} = 0.}$

Наименьший общий знаменатель - x ( x + 1) ( x + 2) .

Следуя методу, описанному выше,

${\ displaystyle (x + 2) + (x + 1) -x = 0.}$

Дальнейшее упрощение дает нам решение x = −3 .

Легко проверить, что ни один из нулей x ( x + 1) ( x + 2), а именно x = 0 , x = −1 и x = −2, не является решением окончательного уравнения, поэтому никаких ложных решений были представлены.

использованная литература

• Ричард Н. Ауфманн; Джоан Локвуд (2012). Алгебра: начальный и средний (3-е изд.). Cengage Learning. п. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.