Тангенциальный многоугольник - Tangential polygon
В евклидовой геометрии , A тангенциальный многоугольник , также известный как вписанный многоугольник , является выпуклым многоугольник , который содержит вписанную окружность (также называется вписанной ). Это круг, касающийся каждой из сторон многоугольника. Двойной многоугольник тангенциального многоугольника является циклическим многоугольник , который имеет описанную окружность , проходящий через каждый из его вершин .
Все треугольники касательные, как и все правильные многоугольники с любым количеством сторон. Хорошо изученной группой касательных многоугольников являются касательные четырехугольники , в которые входят ромбы и воздушные змеи .
Характеристики
Выпуклый многоугольник имеет вписанный тогда и только тогда , когда все его внутренних угловые биссектрис являются одновременно . Эта общая точка является вписанной (центр вписанной).
Существует касательный многоугольник из n последовательных сторон a 1 , ..., a n тогда и только тогда, когда система уравнений
имеет решение ( x 1 , ..., x n ) в положительных числах . Если такое решение существует, то x 1 , ..., x n - длины касательной к многоугольнику (длины от вершин до точек, в которых вписанная окружность касается сторон).
Уникальность и неединственность
Если количество сторон n нечетное, то для любого заданного набора длин сторон, удовлетворяющего вышеуказанному критерию существования, существует только один касательный многоугольник. Но если n четное, их бесконечное количество. Например, в случае четырехугольника, когда все стороны равны, у нас может быть ромб с любым значением острых углов, и все ромбы касаются вписанной окружности.
Inradius
Если п сторона тангенциального многоугольника 1 , ..., п , то inradius ( радиус вписанного) является
где K - площадь многоугольника, а s - полупериметр . (Поскольку все треугольники касательные, эта формула применима ко всем треугольникам.)
Прочие свойства
- Для касательного многоугольника с нечетным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда все углы равны (т.е. многоугольник правильный). У тангенциального многоугольника с четным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда альтернативные углы равны (то есть углы A , C , E , ... равны, а углы B , D , F , ... равны).
- В тангенциальном многоугольнике с четным числом сторон сумма длин сторон с нечетными номерами равна сумме длин сторон с четными номерами.
- Тангенциальный многоугольник имеет большую площадь, чем любой другой многоугольник с таким же периметром и такими же внутренними углами в той же последовательности.
- Медиан любого касательного многоугольника, центроида его граничных точек, и центр вписанной окружности находятся на одной прямой с центром тяжести полигона между другими и в два раза дальше от вписанной , как от центроида границах.
Тангенциальный треугольник
Хотя все треугольники касаются некоторой окружности, треугольник называется касательным треугольником контрольного треугольника, если касания тангенциального треугольника с окружностью также являются вершинами контрольного треугольника.
Тангенциальный четырехугольник
Тангенциальный шестиугольник
- В тангенциальном шестиугольнике ABCDEF , основная диагональ AD , BE и CF являются одновременно в соответствии с теоремой брианшона .