Круговая дуга - Circular arc

Круговой сектор заштрихован в зеленом цвете. Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

Дуга окружности представляет собой дугу из окружности между парой различных точек. Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга , будет образовывать угол в центре круга, который меньше $π$ радиан (180 градусов), а другая дуга, большая дуга , образует угол больше $π$ радиан.

Длина

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r, соединяющей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. Е. Центральным углом, равна

{\ Displaystyle L = \ theta r.}

Это потому что

{\ displaystyle {\ frac {L} {\ mathrm {окружность}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Подставляя по окружности

{\ displaystyle {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}},}

причем α - это тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α / 180 $π$ длина дуги равна

{\ displaystyle L = {\ frac {\ alpha \ pi r} {180}}.}

Практический способ определить длину дуги в окружности - построить две линии от конечных точек дуги до центра окружности, измерить угол, где две линии пересекаются с центром, а затем решить для L путем перекрестного умножения утверждения. :

мера угла в градусах / 360 ° = L / окружность.

Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности 24 дюйма, то

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {60} {360}} & = {\ frac {L} {24}} \\ [6pt] 360L & = 1440 \\ [6pt] L & = 4. \ end {выровнено}}}

Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

{\ displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Тогда длина дуги от до равна ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ displaystyle x = b}$

{\ displaystyle L = r {\ Big [} \ arcsin \ left ({\ frac {x} {r}} \ right) {\ Big]} _ {a} ^ {b}.}

Площадь сектора

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

{\ displaystyle A = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}.}

Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга, что и угол θ к полному кругу:

{\ displaystyle {\ frac {A} {\ pi r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Мы можем сократить $π$ с обеих сторон:

{\ displaystyle {\ frac {A} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2}}.}

Умножив обе части на r ² , мы получим окончательный результат:

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ theta.}

Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

{\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {360}} \ pi r ^ {2}.}

Площадь сегмента

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} r ^ {2} (\ theta - \ sin \ theta).}

Чтобы получить площадь дугового сегмента , нам нужно вычесть из площади площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги . Подробнее см. Круглый сегмент . ${\ displaystyle A}$

Радиус

Продукт из отрезков АР и РВ равна произведению отрезков линии CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр окружности

{\ displaystyle CD = {\ frac {AP \ cdot PB} {CP}} + CP}

Используя теорему о пересечении хорд (также известную как теорема о степени точки или о секущей касательной), можно вычислить радиус r окружности с учетом высоты H и ширины W дуги:

Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды равна W , и она делится биссектрисой на две равные половины, каждая из которых имеет длину W / 2 . Общая длина диаметра составляет 2 р , и он делится на две части первой хордой. Длина одной части является Sagitta дуги, H , а другая часть представляет собой остаток от диаметра, с длиной 2 г - Н . Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает