Круг пятых - Circle of fifths
В теории музыки , то круг пятых является способом организации 12 хроматических смол в виде последовательности квинт . Если С выбрана в качестве начальной точки, то последовательность: С, G, D, А, Е, В (= С ♭ ), F ♯ (= G ♭ ), С ♯ (= D ♭ ), А ♭ , Е ♭ , B ♭ , F. Продолжение шаблона с F возвращает последовательность в ее начальную точку C. В этом порядке наиболее тесно связанные подписи ключей размещаются рядом друг с другом. Обычно его изображают в виде круга.
Определение
Круг квинт организует высоты звука в последовательности идеальных квинт , обычно показываемых в виде круга с высотой звука (и их соответствующими клавишами) по часовой стрелке. Музыканты и композиторы часто используют круг квинт для описания музыкальных отношений между высотой звука. Его дизайн помогает составлять и гармонизировать мелодии , строить аккорды и изменять тональность композиции.
Используя систему простой интонации , идеальная квинта состоит из двух высот с соотношением частот 3: 2, но создание двенадцати идеальных квинт таким образом не приводит к возврату к классу высоты звука начальной ноты. Чтобы приспособиться к этому, инструменты обычно настраиваются по системе равномерного темперамента . Из двенадцати квинт с одинаковой темперацией получается нота ровно на семь октав выше исходного тона - в результате получается идеальная квинта, эквивалентная семи полутонам с одинаковой темперацией .
Вверху круга показана тональность до мажор, без диезов и бемолей . Двигаясь по часовой стрелке, веревки увеличиваются на квинты . Ключевые сигнатуры, связанные с этими высотой звука, также меняются: тональность G имеет один диез, тональность D - 2 диеза и так далее. Точно так же, двигаясь против часовой стрелки от вершины круга, ноты меняются на нисходящие квинты, и подписи клавиш меняются соответственно: тональность F имеет одну бемоль, тональность B ♭ имеет две квартиры и так далее. Некоторые клавиши (внизу круга) могут иметь диез или бемоль .
Начиная с любой высоты звука и возрастая на пятую часть, генерируются все двенадцать тонов перед возвратом к начальному классу высоты звука (класс высоты звука состоит из всех нот, обозначенных данной буквой, независимо от октавы - например, все «до» принадлежат тот же питч-класс). При движении против часовой стрелки высота тона снижается на одну квинту, но повышение на идеальную четверть приведет к тому, что та же нота будет на октаву выше (следовательно, в том же классе высоты тона). Движение против часовой стрелки от C можно рассматривать как спуск на пятую часть до F или подъем на четвертую до F.
Структура и использование
Диатонические ключевые подписи
Каждая из двенадцати нот может служить тоникой мажорной или минорной тональности, и с каждой из этих нот будет связана диатоническая гамма . На круговой диаграмме показано количество диезов или бемолей в каждой ключевой подписи , причем основная тональность обозначена заглавной буквой, а второстепенная тональность - строчной буквой. Основные и второстепенные ключи, которые имеют одинаковую подпись ключа, называются относительным большим и относительным второстепенным по отношению друг к другу.
Модуляция и последовательность аккордов
Тональная музыка часто модулируется в новый тональный центр, тональность которого отличается от оригинала только на бемоль или диез. Эти тесно связанные клавиши находятся на расстоянии одной пятой части друг от друга и, следовательно, находятся рядом в круге пятых. Последовательности аккордов также часто перемещаются между аккордами, корни которых связаны идеальной квинтой, что делает круг квинтов полезным для иллюстрации «гармонического расстояния» между аккордами.
Круг пятых используются для организации и описания гармонической функции из аккордов . Аккорды могут развиваться по схеме восходящих идеальных четвертей (которые поочередно рассматриваются как нисходящие идеальные квинты) в «функциональной последовательности». Это можно показать «... кругом квинта (в котором, следовательно, ступень II шкалы ближе к доминантной, чем ступень шкалы IV)». С этой точки зрения тоника считается конечной точкой аккордовой прогрессии, производной от круга квинт.
Согласно произведению Ричарда Франко Гольдмана « Гармония в западной музыке» , «IV аккорд в простейших механизмах диатонических отношений находится на наибольшем расстоянии от I. С точки зрения [нисходящего] круга квинт, он уводит от I, а не к нему ". Он заявляет, что прогрессия I – ii – V – I ( подлинная каденция ) будет казаться более окончательной или решенной, чем I – IV – I ( чумовая каденция ). Гольдман соглашается с Наттизом, который утверждает, что «аккорд четвертой степени появляется задолго до аккорда II и последующего финала I в прогрессии I – IV – vii o –iii – vi – ii – V – I», и там тоже дальше от тоника. (В этой и связанных статьях римские цифры в верхнем регистре обозначают основные трезвучия, а римские цифры в нижнем регистре - второстепенные трезвучия.)
Замыкание круга в неравных системах настройки
Использование точного соотношения частот 3: 2 для определения идеальной квинты ( просто интонации ) не совсем приводит к возврату к классу высоты звука начальной ноты после обхода круга квинт. Настройка равной темперации производит квинтэссенции, которые возвращаются к тону ровно на семь октав выше исходного тона, и делает соотношение частот каждого полушага одинаковым. Квинта с равным темпом имеет отношение частот 2 7/12 : 1 (или около 1,498307077: 1), что примерно на два цента уже, чем правильно настроенная квинта при соотношении 3: 2.
Подъем с помощью правильно настроенных квинт не может замкнуть круг примерно на 23,46 цента , примерно на четверть полутона , интервал, известный как пифагорейская запятая . В пифагорейской настройке эта проблема решается путем значительного сокращения ширины одной из двенадцати пятых, что делает ее сильно диссонирующей . Эта аномальная квинта называется волчьей пятой - юмористическая отсылка к волку, который воет на нестандартной ноте. Медиантной четверть запятая система настройки использует одиннадцать пятых немного уже , чем в равной степени закаленной пяты, и требует гораздо шире и еще более диссонирующего волка пятого замкнуть круг. Более сложные системы настройки, основанные только на интонации, такие как 5-предельная настройка , используют максимум восемь точно настроенных пятых и не менее трех не только пятых (некоторые немного уже, а некоторые немного шире, чем только квинта), чтобы замкнуть круг. Другие системы настройки используют до 53 тонов (исходные 12 тонов и еще 42 между ними), чтобы замкнуть круг квинт.
История
Некоторые источники предполагают, что Пифагор изобрел круг пятых в шестом веке до нашей эры, но нет никаких доказательств этого. Пифагор в первую очередь занимался теоретической наукой о гармониках, и считается, что он разработал систему настройки, основанную на интервале квинт, но не настроил более восьми нот и не оставил никаких письменных записей о своей работе.
В конце 1670-х годов украинский композитор и теоретик Николай Дилецкий написал трактат о композиции под названием « Грамматика» , «первый в своем роде, направленный на то, чтобы научить русскую публику писать полифонические композиции в западном стиле». В нем учили писать концерты , полифонические произведения а капелла, обычно основанные на литургических текстах и созданные путем объединения музыкальных частей с контрастирующими ритмом, метром, мелодическим материалом и вокальными группами. Дилецкий задумал свой трактат как руководство по композиции с использованием правил теории музыки . Первый круг пятых появляется в Грамматике, и он использовался для студентов как инструмент композиции.
Использовать
В музыкальных произведениях эпохи барокко и классической музыки, а также в западной популярной музыке , традиционной музыке и народной музыке , когда пьесы или песни модулируются в новой тональности, эти модуляции часто связаны с кругом квинт.
На практике в композициях редко используется весь пятый круг. Чаще композиторы используют «композиционную идею« цикла »пятых, когда музыка последовательно проходит через меньший или больший сегмент тональных структурных ресурсов, которые абстрактно представляет круг». Обычная практика состоит в том, чтобы получить круг прогрессии квинт из семи тонов диатонической гаммы, а не из всего диапазона двенадцати тонов, присутствующих в хроматической гамме. В этой диатонической версии круга одна квинта не является настоящей пятой: это тритон (или уменьшенная квинта), например, между F и B в «естественной» диатонической гамме (то есть без диезов или бемолей). Вот как получается круг квинт путем перестановки из диатонической мажорной гаммы:
И из (натуральной) минорной гаммы:
Ниже приводится базовая последовательность аккордов, которая может быть построена поверх основной басовой линии:
И над второстепенным:
Добавление септатов к аккордам создает большее ощущение движения вперед к гармонии:
Эпоха барокко
По словам Ричарда Тарускина , Арканджело Корелли был самым влиятельным композитором, утвердившим паттерн в качестве стандартного гармонического «тропа» : «Именно во времена Корелли, в конце семнадцатого века, круг пятых« теоретизировался »как основной. движитель гармонического движения, и именно Корелли больше, чем какой-либо композитор, воплотил эту новую идею в практику изложения ».
В музыке И. С. Баха часто встречается круговая прогрессия квинт . Далее от Jauchzet Gott in allen Landen , BWV 51 , даже когда сольная басовая линия подразумевает, а не заявляет задействованные аккорды:
Гендель использует круг прогрессии квинт в качестве основы для движения пассакальи из своей сюиты № 6 для клавесина соль минор.
Композиторы эпохи барокко научились увеличивать «движущую силу» гармонии, порождаемой кругом квинт, «добавляя септаты к большинству составляющих аккордов». «Эти седьмые, будучи диссонансами, создают потребность в разрешении, таким образом превращая каждое движение круга в одновременное облегчение и повторный стимулятор гармонического напряжения ... Следовательно, они используются для выразительных целей». Поразительные отрывки, иллюстрирующие использование седьмых, встречаются в арии «Pena tiranna» в опере Генделя 1715 года « Амадиги ди Гаула» :
- и в Баха расположение клавиатуры с Марчелло «s Концерт для гобоя и струнных .
Девятнадцатый век
В течение девятнадцатого века композиторы использовали круг квинтов, чтобы усилить выразительный характер своей музыки. Пронзительный экспромт ми-бемоль мажор, D899 Франца Шуберта содержит такой отрывок:
- как это делает Интермеццо движение от Мендельсона «s Струнный квартет No.2 :
Вызывающая воспоминания Роберта Шумана «Ребенок, засыпающий» из его « Киндерзенена» преподносит сюрприз в конце прогрессии: пьеса заканчивается на аккорде ля минор вместо ожидаемого тонического ми минор.
В опере Вагнера « Götterdämmerung» в музыке происходит цикл квинт-прогрессии, переходящий от конца пролога к первой сцене первого акта, действие которой происходит во внушительном зале богатых Гибичунг. «Статус и репутация написаны повсюду в мотивах, присвоенных Гюнтеру», глава клана Гибичунг:
Равель «s „Павана на смерть инфанты“ , использует цикл квинт , чтобы вызвать барокко гармонию передать сожаление и ностальгию по ушедшей эпохи. Композитор охарактеризовал это произведение как «воспоминание о паване, которую маленькая принцесса ( инфанта ) в свое время танцевала при испанском дворе»:
Джаз и популярная музыка
Неизменная популярность круга квинт как инструмента построения формы и выразительного музыкального образа очевидна по количеству « стандартных » популярных песен, сочиненных в течение двадцатого века. Его также предпочитают джазовые музыканты как средство импровизации.
- Барт Ховард , " Лети меня на Луну "
Песня открывается паттерном нисходящих фраз - по сути, крючком песни - представленным с успокаивающей предсказуемостью, как если бы будущее направление мелодии было продиктовано начальными пятью нотами. В свою очередь, гармоническая прогрессия редко выходит за пределы круга квинт.
- Джером Керн , " Все, что ты есть "
- Рэй Ноубл , « Чероки ». Многим джазовым музыкантам это особенно сложно, поскольку средняя восьмерка так быстро движется по кругу, «создавая серию прогрессий II – V – I, которые временно проходят через несколько тональностей ».
- Космо, Преверт и Мерсер, « Осенние листья »
- The Beatles , " Вы никогда не отдаете мне свои деньги "
- Майк Олдфилд , « Заклинания »
- Карлос Сантана , " Европа (крик земли, улыбка небес) "
- Глория Гейнор , « Я выживу »
- Pet Shop Boys , " Это грех "
- Донна Саммер , " Люблю любить тебя, детка "
Связанные понятия
Диатонический круг пятых
Диатонический круг квинт - это круг квинт, охватывающий только члены диатонической шкалы. Следовательно, он содержит уменьшенную пятую часть до мажор между B и F. См. Структура подразумевает множественность . Прогрессия круга обычно круг пятых через диатонические аккорды, в том числе один уменьшенного аккорда . Ниже показана прогрессия по кругу до мажор с аккордами I – IV – vii o –iii – vi – ii – V – I.
Хроматический круг
Круг квинт тесно связан с хроматическим кругом , который также упорядочивает двенадцать классов высоты звука с одинаковым темпом в круговом порядке. Ключевое различие между двумя кругами состоит в том, что хроматический круг можно понимать как непрерывное пространство, где каждая точка на круге соответствует мыслимому классу высоты тона , а каждый мыслимый класс высоты звука соответствует точке на окружности. В отличие от этого, круг квинтов по сути является дискретной структурой, и нет очевидного способа присвоить классы высоты тона каждой из его точек. В этом смысле два круга математически совершенно разные.
Тем не менее, двенадцать равных уравновешенный классы основного тона могут быть представлены в циклической группе порядка двенадцати, или , что эквивалентно, то классы вычетов по модулю двенадцать, . Группа имеет четыре генератора, которые можно идентифицировать с восходящими и нисходящими полутонами и восходящими и нисходящими идеальными квинтами. Полутональный генератор дает начало хроматическому кругу, а идеальная квинта - квинтовому кругу.
Связь с хроматической шкалой
Круг пятых или четвертых может быть отображен из хроматической шкалы путем умножения и наоборот. Чтобы отобразить между кругом квинт и хроматической шкалой (в целочисленном представлении ), умножьте на 7 ( M7 ), а для круга четвертых умножьте на 5 (P5).
Вот демонстрация этой процедуры. Начните с упорядоченного набора из 12 ( тонового ряда ) целых чисел.
- (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)
представляющие ноты хроматической гаммы: 0 = C, 2 = D, 4 = E, 5 = F, 7 = G, 9 = A, 11 = B, 1 = C ♯ , 3 = D ♯ , 6 = F ♯ , 8 = G ♯ , 10 = A ♯ . Теперь умножьте все 12 кортежей на 7:
- (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77)
а затем примените уменьшение по модулю 12 к каждому из чисел (вычтите 12 из каждого числа столько раз, сколько необходимо, пока число не станет меньше 12):
- (0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5)
что эквивалентно
- (C, G, D, A, E, B, F ♯ , C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , F)
который является пятым кругом. Обратите внимание, что это энгармонически эквивалентно:
- (C, G, D, A, E, B, G ♭ , D ♭ , A ♭ , E ♭ , B ♭ , F).
Энгармонические эквиваленты и теоретические ключи
Ключевые сигнатуры, расположенные в нижней части кружка пятой диаграммы, такие как D ♭ мажор, часто записываются одним способом в бемольском стиле, а другим - с использованием диеза. Эти ключи легко меняются местами с использованием энгармонических эквивалентов. Энгармонический означает, что ноты звучат одинаково, но пишутся по-разному. Например, ключ подписи D ♭ мажор, с пятью квартирами, содержит те же самые звучащие ноты, энгармонически, как С ♯ крупных (семь диезами).
После C ♯ идет тональность G ♯ (следуя образцу на пятую часть выше и, по совпадению, энгармонически эквивалентна тональности A ♭ ). «Восьмой острый» находится на F ♯ , чтобы сделать его F . Ключ D ♯ , с девятью острыми предметами, имеет другое острое помещают на C ♯ , что делает его С . То же самое и с ключевыми подписями с квартирами; Ключ E (четыре диеза) эквивалентен ключу F ♭ (опять же, на одну пятую ниже тональности C ♭ , следуя образцу плоских подписей ключа). Последняя Квартира расположена на B ♭ , что делает его B . Такие ключи с двойной случайностью в ключевых сигнатурах называются теоретическими ключами : появление их ключевых сигнатур крайне редко, но они иногда тонизируются в процессе работы (особенно если домашний ключ уже был сильно заострен или сплющен).
Похоже, что не существует стандарта о том, как записывать теоретические ключевые подписи:
- По умолчанию LilyPond (на фото выше) записывает все одинарные диезы (бемольские) в порядке 1/5, прежде чем перейти к двойным диезам. Это формат, используемый в « Мировом реквиеме» Джона Фулдса , соч. 60, концы которой с ключом подписи G ♯ основным (точно , как показано выше, стр. 153ff. ) В высевки в ключе подписи G ♯ крупного здесь перейти C ♯ , G ♯ , D ♯ , А ♯ , Е ♯ , В ♯ , F .
- Одиночные высевки или квартиры в начале иногда повторяются , как вежливость, например , Макс Регер «s Дополнение к теории модуляции , которая содержит D ♭ минор подпись на стр. 42-45 . Они имеют B ♭ в начале , а также B в конце (с двойным плоским символом), идя B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ , В . Соглашение LilyPond и Foulds подавило бы начальную букву B ♭ .
- Иногда в начале ключевой подписи пишутся двойные знаки, за которыми следуют одиночные знаки. Например, подпись ключа F ♭ обозначается как B , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ . Это соглашение используется Виктором Эвальдом, программой Finale (программное обеспечение) и некоторыми теоретическими работами.
Смотрите также
- Подходящий аккорд
- Форма сонаты
- Хороший темперамент
- Круг пятых текстовой таблицы
- Созвездие шага
- Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
Примечания
использованная литература
- Гольдман, Ричард Франко (1965). Гармония в западной музыке . Нью-Йорк: WW Нортон.
- Дженсен, Клаудия Р. (1992). «Теоретическое произведение конца XVII века в Московии:« Грамматика »Николая Дилецкого и древнейший круг пятых». Журнал Американского музыковедческого общества . 45 (2 (Лето)): 305–331. DOI : 10.2307 / 831450 . JSTOR 831450 .
- Маккартин, Брайан Дж. (1998). «Прелюдия к музыкальной геометрии» . Журнал математики колледжа . 29 (5 (ноябрь)): 354–370. DOI : 10.1080 / 07468342.1998.11973971 . JSTOR 2687250 . Архивировано из оригинала на 2008-05-17 . Проверено 29 июля 2008 .
- Наттиз, Жан-Жак (1990). Музыка и дискурс: к семиологии музыки , переведенный Кэролайн Эббейт. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02714-5 . (Первоначально опубликовано на французском языке под названием Musicologie générale et sémiologie . Париж: C. Bourgois, 1987. ISBN 2-267-00500-X ).
дальнейшее чтение
- Д'Инди, Винсент (1903). Музыкальный курс композиции . Париж: A. Durand et fils.
- Лестер, Джоэл. Между модами и ключами: немецкая теория, 1592–1802 гг . 1990 г.
- Миллер, Майкл. Полное руководство идиота по теории музыки, 2-е изд . [Индианаполис, Индиана]: Alpha, 2005. ISBN 1-59257-437-8 .
- Пурвинс, Хендрик (2005). « Профили классов высоты звука: круговорот относительной высоты звука и тональности - эксперименты, модели, компьютерный анализ музыки и перспективы ». Кандидат наук. Тезис. Берлин: Технический университет Берлина .
- Пурвинс, Хендрик, Бенджамин Бланкерц и Клаус Обермайер (2007). " Тороидальные модели в тональной теории и анализе питч-класса ". в: Вычислительная техника в музыковедении 15 («Тональная теория для цифровой эпохи»): 73–98.