Плотность заряда - Charge density

В электромагнетизма , плотность заряда представляет собой количество электрического заряда на единицу длины , площади поверхности или объема . Объемная плотность заряда (обозначается греческой буквой ρ) - это количество заряда на единицу объема, измеряемое в системе СИ в кулонах на кубический метр (C⋅m −3 ) в любой точке объема. Плотность поверхностного заряда (σ) - это количество заряда на единицу площади, измеряемое в кулонах на квадратный метр (Кл · м −2 ), в любой точке распределения поверхностного заряда на двумерной поверхности. Линейная плотность заряда (λ) - это количество заряда на единицу длины, измеряемое в кулонах на метр (Кл · м -1 ), в любой точке линейного распределения заряда. Плотность заряда может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным.

Как и плотность массы, плотность заряда может меняться в зависимости от положения. В классической электромагнитной теории плотность заряда идеализируется как непрерывная скалярная функция положения , как жидкость, и ,, и обычно рассматриваются как непрерывные распределения заряда , даже если все реальные распределения заряда состоят из дискретных заряженных частиц. Из-за сохранения электрического заряда плотность заряда в любом объеме может измениться только в том случае, если электрический ток заряда течет в объем или из него. Это выражается уравнением непрерывности , которое связывает скорость изменения плотности заряда и плотности тока .

Поскольку весь заряд переносится субатомными частицами , которые можно идеализировать как точки, концепция непрерывного распределения заряда является приближением, которое становится неточным на малых масштабах длины. Распределение заряда в конечном итоге состоит из отдельных заряженных частиц, разделенных областями, не содержащими заряда. Например, заряд в электрически заряженном металлическом объекте состоит из электронов проводимости, беспорядочно движущихся в кристаллической решетке металла . Статическое электричество вызывается поверхностными зарядами, состоящими из ионов на поверхности объектов, а объемный заряд в вакуумной трубке состоит из облака свободных электронов, беспорядочно движущихся в пространстве. Плотность носителей заряда в проводнике равна количеству подвижных носителей заряда ( электронов , ионов и т. Д.) В единице объема. Плотность заряда в любой точке равна плотности носителей заряда, умноженной на элементарный заряд частиц. Однако из-за того, что элементарный заряд электрона очень мал (1,6⋅10 −19 Кл) и их так много в макроскопическом объеме ( в кубическом сантиметре меди содержится около 10 22 электронов проводимости), непрерывное приближение имеет вид очень точен при применении к макроскопическим объемам и даже микроскопическим объемам выше нанометрового уровня.

В атомных масштабах, в связи с принципом неопределенности в квантовой механике , заряженная частица не имеет четкой позиции , но представляется распределением вероятностей , так что заряд отдельной частицы не концентрируется в точке , но «размазывается» в пространство и действует как истинное непрерывное распределение заряда. Это значение терминов «распределение заряда» и «плотность заряда», используемых в химии и химической связи . Электрон представлен волновой функцией , квадрат которой пропорционален вероятности нахождения электрона в любой точке пространства, поэтому пропорционален плотности заряда электрона в любой точке. В атомах и молекулах заряд электронов распределен в облаках, называемых орбиталями, которые окружают атом или молекулу и отвечают за химические связи .

Определения

Непрерывные начисления

Непрерывное распределение заряда. Объемная плотность заряда ρ - это количество заряда на единицу объема (трехмерное), поверхностная плотность заряда σ - количество на единицу площади поверхности (круг) с внешней нормалью , d - дипольный момент между двумя точечными зарядами, объемная плотность из них является плотность поляризации Р . Вектор положения r - точка для вычисления электрического поля ; r ′ - точка в заряженном объекте.

Ниже приведены определения для непрерывного распределения заряда.

Линейная плотность заряда - это отношение бесконечно малого электрического заряда d Q (единица СИ: C ) к бесконечно малому линейному элементу ,

аналогично поверхностная плотность заряда использует элемент площади поверхности d S

а объемная плотность заряда использует элемент объема d V

Интегрирование определений дает полный заряд Q области в соответствии с линейным интегралом от линейной плотности заряда λ q ( r ) по линии или 1d кривой C ,

аналогично поверхностный интеграл от поверхностной плотности заряда σ q ( r ) по поверхности S ,

и объемный интеграл от объемной плотности заряда ρ q ( r ) по объему V ,

где нижний индекс q предназначен для пояснения, что плотность предназначена для электрического заряда, а не для других плотностей, таких как массовая плотность , числовая плотность , плотность вероятности , и предотвращает конфликт со многими другими применениями λ, σ, ρ в электромагнетизме для длины волны , удельного электрического сопротивления и проводимость .

В контексте электромагнетизма индексы обычно опускаются для простоты: λ, σ, ρ. Другие обозначения могут включать: ρ , ρ s , ρ v , ρ L , ρ S , ρ V и т. Д.

Общий заряд, разделенный на длину, площадь поверхности или объем, будет средней плотностью заряда:

Бесплатная, обязательная и полная оплата

В диэлектрических материалах общий заряд объекта можно разделить на «свободные» и «связанные» заряды.

Связанные заряды создают электрические диполи в ответ на приложенное электрическое поле E и поляризуют другие близлежащие диполи, стремясь выровнять их, суммарное накопление заряда из-за ориентации диполей является связанным зарядом. Они называются связанными, потому что их нельзя удалить: в диэлектрическом материале заряды - это электроны, связанные с ядрами .

Свободные заряды - это избыточные заряды, которые могут перейти в электростатическое равновесие , то есть когда заряды не движутся, а результирующее электрическое поле не зависит от времени или составляет электрические токи .

Общая плотность заряда

С точки зрения объемной плотности заряда, общая плотность заряда составляет:

Что касается плотности поверхностного заряда:

где нижние индексы «f» и «b» означают «свободный» и «связанный» соответственно.

Связанный заряд

Связанный поверхностный заряд - это заряд, накопленный на поверхности диэлектрика , определяемый дипольным моментом, перпендикулярным поверхности:

где s - расстояние между точечными зарядами, составляющими диполь, - электрический дипольный момент , - единичный вектор нормали к поверхности.

Взяв бесконечно малые :

и деление на дифференциальный элемент поверхности dS дает плотность связанного поверхностного заряда:

где P - плотность поляризации , то есть плотность электрических дипольных моментов в материале, а dV - дифференциальный элемент объема .

Используя теорему о расходимости , плотность связанного объемного заряда в материале равна

\ oiint

следовательно:

Отрицательный знак возникает из-за противоположных знаков зарядов в диполях: один конец находится в объеме объекта, другой - на поверхности.

Ниже приводится более строгий вывод.

Плотность свободного заряда

Плотность свободного заряда служит полезным упрощением закона Гаусса для электричества; объем интеграл от него есть свободное заряд , заключенное в заряженном объекте - равный чистый поток из поля электрического смещения D , выходящий из объекта:

\ oiint

Для получения более подробной информации см. Уравнения Максвелла и определяющее соотношение .

Однородная плотность заряда

Для особого случая однородной плотности заряда ρ 0 , не зависящей от положения, т.е. постоянной во всей области материала, уравнение упрощается до:

Доказательство этого сразу. Начнем с определения заряда любого объема:

Тогда, по определению однородности, ρ q ( r ) - это константа, обозначаемая ρ q , 0 (чтобы различать постоянную и непостоянную плотности), и поэтому по свойствам интеграла его можно вывести за пределы интеграла, в результате чего в:

так,

Эквивалентные доказательства для линейной плотности заряда и поверхностной плотности заряда следуют тем же аргументам, что и выше.

Дискретные заряды

Для единственного точечного заряда q в позиции r 0 внутри области трехмерного пространства R , например, для электрона , объемная плотность заряда может быть выражена дельта-функцией Дирака :

где r - позиция для расчета заряда.

Как всегда, интеграл плотности заряда по области пространства - это заряд, содержащийся в этой области. Дельта-функция имеет свойство просеивания для любой функции f :

поэтому дельта-функция гарантирует, что при интегрировании плотности заряда по R общий заряд в R равен q :

Это можно распространить на N дискретных точечных носителей заряда. Плотность заряда системы в точке r представляет собой сумму плотностей зарядов для каждого заряда q i в позиции r i , где i = 1, 2, ..., N :

Дельта-функция для каждого заряда q i в сумме, δ ( r - r i ), гарантирует, что интеграл плотности заряда по R возвращает полный заряд в R :

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд q (для электронов q = - e , заряд электрона ), плотность заряда можно выразить через количество носителей заряда в единице объема, n ( r ), как

Аналогичные уравнения используются для линейной и поверхностной плотностей заряда.

Плотность заряда в специальной теории относительности

В специальной теории относительности длина отрезка провода зависит от скорости наблюдателя из-за сокращения длины , поэтому плотность заряда также будет зависеть от скорости. Энтони Френч описал, как сила магнитного поля токоведущего провода возникает из этой относительной плотности заряда. Он использовал (стр. 260) диаграмму Минковского, чтобы показать, «как кажется, что нейтральный провод с током несет чистую плотность заряда, наблюдаемую в движущейся системе отсчета». Когда плотность заряда измеряется в движущейся системе отсчета, это называется правильной плотностью заряда .

Оказывается, плотность заряда ρ и плотность тока J вместе трансформируются как четырехкратный вектор тока при преобразованиях Лоренца .

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда ρ q связана с волновой функцией ψ ( r ) уравнением

где q - заряд частицы, а | ψ ( r ) | 2 = ψ * ( r ) ψ ( r ) - функция плотности вероятности, т.е. вероятность на единицу объема частицы, расположенной в точке r .

При нормировке волновой функции средний заряд в области rR равен

где d 3 r - мера интегрирования по трехмерному позиционному пространству.

Приложение

Плотность заряда появляется в уравнении неразрывности для электрического тока, а также в уравнениях Максвелла . Это главный источник электромагнитного поля ; когда распределение заряда движется, это соответствует плотности тока . Плотность заряда молекул влияет на химические процессы и процессы разделения. Например, плотность заряда влияет на связь металл-металл и водородную связь . Для процессов разделения, таких как нанофильтрация , плотность заряда ионов влияет на их отторжение мембраной.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

  • [1] - Распределение пространственного заряда