Распределение Champernowne - Champernowne distribution

В статистике , то распределение Champernowne является симметричным, непрерывным распределением вероятностей , описывающим случайными переменными , которые принимают как положительные , так и отрицательные значения. Это обобщение логистического распределения, которое было введено Д. Г. Чамперноуном . Шамперноун разработал распределение для описания логарифма дохода.

Определение

Распределение Чамперноуна имеет функцию плотности вероятности, заданную следующим образом:

${\ displaystyle f (y; \ alpha, \ lambda, y_ {0}) = {\ frac {n} {\ cosh [\ alpha (y-y_ {0})] + \ lambda}}, \ qquad - \ infty <y <\ infty,}$

где - положительные параметры, а n - нормирующая постоянная, которая зависит от параметров. Плотность можно переписать как ${\ displaystyle \ alpha, \ lambda, y_ {0}}$

${\ displaystyle f (y) = {\ frac {n} {1 / 2e ^ {\ alpha (y-y_ {0})} + \ lambda + 1 / 2e ^ {- \ alpha (y-y_ {0}) )}}},}$

используя тот факт, что ${\ displaystyle \ cosh y = (e ^ {y} + e ^ {- y}) / 2.}$

Свойства

Плотность f ( y ) определяет симметричное распределение со средней y ₀ , хвосты которого несколько тяжелее, чем у нормального распределения.

Особые случаи

В частном случае это плотность заусенцев типа XII . ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

Когда , ${\ displaystyle y_ {0} = 0, \ alpha = 1, \ lambda = 1}$

${\ displaystyle f (y) = {\ frac {1} {e ^ {y} + 2 + e ^ {- y}}} = {\ frac {e ^ {y}} {(1 + e ^ {y }) ^ {2}}},}$

что является плотностью стандартного логистического распределения .

Распределение доходов

Если распределение Y , логарифма дохода, имеет распределение Шамперноуна, то функция плотности дохода X  = exp ( Y ) равна

${\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {п} {х [1/2 (х / х_ {0}) ^ {- \ альфа} + \ лямбда + а / 2 (х / х_ {0}) ^ {\ alpha}]}}, \ qquad x> 0,}$

где x ₀ = exp ( y ₀ ) - средний доход. Если λ = 1, это распределение часто называют распределением Фиска , которое имеет плотность

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ alpha x ^ {\ alpha -1}} {x_ {0} ^ {\ alpha} [1+ (x / x_ {0}) ^ {\ alpha}] ^ {2}}}, \ qquad x> 0.}$

Смотрите также

• Обобщенная логистическая дистрибуция

Рекомендации