Центроид - Centroid

Центроид треугольника

В математике и физике , то медианы или геометрический центр из плоской фигуры является средним арифметическим положением всех точек на рисунке. Неформально, это точка, в которой вырез формы (с равномерно распределенной массой) может быть идеально сбалансирован на кончике булавки. То же определение распространяется на любой объект в n - мерном пространстве .

В то время как в геометрии слово барицентр является синонимом центроида , в астрофизике и астрономии барицентр - это центр масс двух или более тел, вращающихся вокруг друг друга. В физике центр масс - это среднее арифметическое всех точек, взвешенных по локальной плотности или удельному весу . Если физический объект имеет однородную плотность, то его центр масс совпадает с центроидом его формы.

В географии центроид радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря является географическим центром региона .

История

Термин «центроид» появился недавно (1814 г.). Он используется вместо старых терминов « центр тяжести » и « центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французы в большинстве случаев используют « центр притяжения », а другие используют термины схожего значения.

Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.

Хотя Архимед явно не заявляет об этом предположении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был знаком с ним. Однако Жан-Этьен Монукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел - это предмет, которого Архимед не касался.

В 1802 году Шарль Боссут (1730–1813) опубликовал двухтомный Essai sur l'histoire générale des mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Босут приписывает Архимеду открытие центра тяжести плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.

Хотя возможно, что Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 гг. До н. Э.), Несомненно, что, когда Архимед посетил Александрию , Евклида там уже не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке - центре тяжести треугольника - непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в «Элементах» Евклида . Первое явное утверждение этого предположения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н. Э.) И встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не было распространено в учебниках по геометрии плоскости до XIX века.

Характеристики

Геометрический центр тяжести выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. У невыпуклого объекта центр тяжести может находиться за пределами самой фигуры. Центроид кольца или чаши , например, находится в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, это неподвижная точка всех изометрий в своей группе симметрии . В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит в пересечении всех его гиперплоскостях от симметрии . Центроид многих фигур ( правильный многоугольник , правильный многогранник , цилиндр , прямоугольник , ромб , круг , сфера , эллипс , эллипсоид , суперэллипс , суперэллипсоид и т. Д.) Может быть определен только по этому принципу.

В частности, центр тяжести параллелограмма - это точка пересечения двух его диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

По той же причине центр тяжести объекта с трансляционной симметрией не определен (или находится вне ограничивающего пространства), потому что сдвиг не имеет фиксированной точки.

Примеры

Центроид треугольника - это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны).

О других свойствах центроида треугольника см. Ниже .

Расположение

Метод отвеса

Центроид равномерно плотной плоской пластинки , такой как на рисунке (а) ниже, может быть определен экспериментально, используя отвес и штифт, чтобы найти совмещенный центр масс тонкого тела однородной плотности, имеющего такую ​​же форму. Тело удерживается штифтом, вставленным в точку за пределами предполагаемого центра тяжести, таким образом, чтобы оно могло свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес снимается со штифта (рисунок b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется со штифтом, вставленным в любую другую точку (или несколько точек) за пределами центроида объекта. Единственной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок c). При условии, что тело имеет однородную плотность, все линии, сделанные таким образом, будут включать центроид, и все линии будут пересекаться в одном и том же месте.

Центр тяжести 0.svg
Центр тяжести 1.svg
Центр тяжести 2.svg
а) (б) (c)

Этот метод может быть расширен (теоретически) на вогнутые формы, где центроид может лежать вне формы, и практически на твердые тела (опять же, с однородной плотностью), где центроид может находиться внутри тела. (Виртуальные) положения отвесов должны быть записаны другими способами, кроме их рисования по форме.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм центроид можно найти, уравновешивая форму на меньшей форме, такой как вершина узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах диапазона контакта между двумя формами (и точно в точке, где форма будет балансировать на штифте). В принципе, для нахождения центра тяжести с произвольной точностью можно использовать все более узкие цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия от нескольких весов, можно достичь значительного уровня точности.

Конечного множества точек

Центроид конечного множества точек в равен

.

Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой и каждой точкой в ​​наборе.

Путем геометрического разложения

Центроид плоской фигуры можно вычислить, разделив ее на конечное число более простых фигур , вычислив центроид и площадь каждой части, а затем вычислив

Отверстия на фигуре , перекрытия между частями или части, выходящие за пределы фигуры, можно обрабатывать с помощью отрицательных областей . А именно, меры должны быть приняты с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков для всех частей, которые окружают данную точку, была равна 1, если принадлежит , и 0 в противном случае.

Например, рисунок ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью; и круглое отверстие с отрицательной площадью (b).

(а) 2D объект
(б) Объект, описанный с помощью более простых элементов
(c) Центроиды элементов объекта

Центроид каждой части можно найти в любом списке центроидов простой формы (c). Тогда центроид фигуры - это средневзвешенное значение трех точек. Горизонтальное положение центроида от левого края рисунка равно

Вертикальное положение центроида находится таким же образом.

Та же формула верна для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый должен быть объемом , а не площадью. Это также верно для любого подмножества , для любого измерения с площадями, замененными -мерными мерами частей.

По интегральной формуле

Центроид подмножество X из также могут быть вычислен с помощью интеграла

где интегралы берутся по всему пространству , а g - характеристическая функция подмножества, которое равно 1 внутри X и 0 вне его. Обратите внимание , что знаменатель просто мера множества X . Эта формула не может быть применена, если множество X имеет нулевую меру или если любой интеграл расходится.

Другая формула для центроида:

где C k - k- я координата C , а S k ( z ) - мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемой уравнением x k = z . Опять же , знаменатель просто мера X .

В частности, для плоской фигуры координаты центра масс равны

где A - площадь фигуры X ; S y ( x ) - длина пересечения X с вертикальной линией на абсциссе x ; и S x ( y ) - аналогичная величина для поменяемых местами осей.

Ограниченной области

Центроид из области , ограниченной графиками непрерывных функций и таким образом, что на интервале , , задается

где - площадь региона (определяется как ).

Г-образного объекта

Это метод определения центра тяжести L-образного объекта.

CoG L shape.svg

  1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центры тяжести этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид фигуры должен лежать на этой линии AB.
  2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центры тяжести этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.
  3. Поскольку центр тяжести формы должен лежать как вдоль AB, так и вдоль CD, он должен находиться на пересечении этих двух линий в точке O. Точка O может лежать внутри или снаружи L-образного объекта.

Треугольника

Центроид треугольника 1.svg Центроид треугольника 2.svg

Центроид треугольника - это точка пересечения его медиан (линий, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны). Центроид делит каждую из медиан в соотношении 2: 1, то есть находится на расстояния от каждой стороны до противоположной вершины (см. Рисунки справа). Его декартовы координаты - это средние значения координат трех вершин. То есть, если три вершины равны, а затем центроид (обозначенный здесь C, но чаще всего обозначаемый G в геометрии треугольника ) равен

Таким образом, центр тяжести находится в барицентрических координатах .

В трехлинейных координатах центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов через длины сторон a, b, c и углы при вершинах L, M, N :

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и поровну разделена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника, с равномерной линейной плотностью , то центром масс лежат в центре Spieker (The вписанного в медиальном треугольнике ), который не (в целом) совпадает с геометрическим центроид полного треугольника.

Площадь треугольника в 1,5 раза превышает длину любой стороны, умноженную на перпендикулярное расстояние от стороны до центроида.

Центроид треугольника лежит на его линии Эйлера между его ортоцентром H и его центром описанной окружности O , ровно в два раза ближе к последнему, чем к первому:

Кроме того, для центра I и девятиточечного центра N имеем

Если G - центр тяжести треугольника ABC, то:

Изогональное конъюгат центроида треугольника является его симедиана точкой .

Любая из трех медиан, проходящих через центроид, делит площадь треугольника пополам. Это неверно для других линий, проходящих через центроид; наибольшее отклонение от деления на равные площади происходит, когда линия, проходящая через центр тяжести, параллельна стороне треугольника, образуя меньший треугольник и трапецию ; в этом случае площадь трапеции составляет 5/9 площади исходного треугольника.

Пусть Р любая точка в плоскости треугольника с вершинами A, B, и C и центроида G . Тогда сумма квадратов расстояний P от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний от центроида G до вершин в три раза больше квадрата расстояния между P и G :

Сумма квадратов сторон треугольника равна троекратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

Центроид треугольника - это точка, которая максимизирует произведение направленных расстояний от точки до боковых линий треугольника.

Пусть ABC - треугольник, G - его центроид, а D , E и F - середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC тогда

Многоугольника

Центроид несамопересекающегося замкнутого многоугольника, заданного n вершинами ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), ..., ( x n −1 , y n −1 ), является точкой ( C x , C y ), где

а также

и где A - площадь со знаком многоугольника, как описано формулой шнурка :

В этих формулах предполагается, что вершины пронумерованы в порядке их появления по периметру многоугольника; кроме того, вершина ( x n , y n ) считается такой же, как ( x 0 , y 0 ), что означает, что в последнем случае необходимо выполнить цикл до . (Если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь A , вычисленная, как указано выше, будет отрицательной; однако координаты центроида будут правильными даже в этом случае.)

Конуса или пирамиды

Центроид конуса или пирамиды расположен на отрезке прямой, который соединяет вершину с центроидом основания. Для твердого конуса или пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, которые представляют собой просто оболочку (полую) без основания, центроид составляет 1/3 расстояния от базовой плоскости до вершины.

Тетраэдра и n- мерного симплекса

Тетраэдр представляет собой объект в трехмерном пространстве , имеющее четыре треугольника , как его грани . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется срединной , а отрезок, соединяющий средние точки двух противоположных ребер, называется бимедианой . Следовательно, есть четыре медианы и три бимедианы. Эти семь отрезков пересекаются в центре тетраэдра. Медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1. Центроид тетраэдра - это середина между его точкой Монжа и центром описанной сферы (центром описанной сферы). Эти три точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична линии Эйлера треугольника.

Эти результаты обобщаются на любой n -мерный симплекс следующим образом. Если набор вершин симплекса равен , то, рассматривая вершины как векторы , центроид равен

Геометрический центроид совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу, или сосредоточена в вершинах как n + 1 равных масс.

Полушария

Центроид твердого полушария (т.е. половина твердого шара) делит отрезок прямой, соединяющий центр шара с полюсом полушария в соотношении 3: 5 (т.е. он лежит на 3/8 расстояния от центра до полюса). Центроид полого полушария (т.е. половина полой сферы) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полушария пополам.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки