Теорема Кармайкла - Carmichael's theorem

В теории чисел , теорема Кармайкла , названную в честь американского математика R.D. Carmichael , утверждают , что для любой невырожденной последовательности Лукаса первого рода U _п ( P , Q ) с относительно простых параметров P, Q и положительного дискриминанта, элемент U _п с n ≠ 1, 2, 6 имеет хотя бы один простой делитель, который не делит ни один из предыдущих, кроме 12-го числа Фибоначчи F (12) = U ₁₂ (1, -1) = 144 и его эквивалента U ₁₂ (-1, - 1) = - 144.

В частности, для n больше 12 n- е число Фибоначчи F ( n ) имеет по крайней мере один простой делитель, который не делит любое предыдущее число Фибоначчи.

Кармайкл (1913, теорема 21) доказал эту теорему. Недавно Ябута (2001) дал простое доказательство.

утверждение

Для двух взаимно простых целых чисел P и Q , таких что и PQ ≠ 0 , пусть U _n ( P , Q ) будет последовательностью Люка первого рода, определенной формулой ${\ displaystyle D = P ^ {2} -4Q> 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} U_ {0} (P, Q) & = 0, \\ U_ {1} (P, Q) & = 1, \\ U_ {n} (P, Q) & = P \ cdot U_ {n-1} (P, Q) -Q \ cdot U_ {n-2} (P, Q) \ qquad {\ mbox {for}} n> 1. \ End {align}}}$

Тогда при n 1, 2, 6 U _n ( P , Q ) имеет хотя бы один простой делитель, который не делит никакой U _m ( P , Q ) с m < n , за исключением U ₁₂ (1, -1) = F (12) = 144, U ₁₂ (-1, -1) = - F (12) = - 144. Такое простое число p называется характеристическим фактором или примитивным простым делителем числа U _n ( P , Q ). В самом деле, Кармайкл показал немного более сильную теорему: при n ≠ 1, 2, 6 U _n ( P , Q ) имеет хотя бы один примитивный простой делитель, не делящий D, за исключением U ₃ (1, -2) = U ₃ (-1 , -2) = 3, U ₅ (1, -1) = U ₅ (-1, -1) = F (5) = 5, U ₁₂ (1, -1) = F (12) = 144, U ₁₂ (-1, -1) = - F (12) = - 144.

Обратите внимание, что D должно быть> 0, поэтому случаи U ₁₃ (1, 2), U ₁₈ (1, 2) и U ₃₀ (1, 2) и т. Д. Не учитываются, поскольку в этом случае D = −7 < 0.

Случаи Фибоначчи и Пелла

Единственные исключения в случае Фибоначчи для n до 12:

F (1) = 1 и F (2) = 1, у которых нет простых делителей

F (6) = 8, единственный простой делитель которого равен 2 (что является F (3))

F (12) = 144, чьи единственные простые делители равны 2 (F (3)) и 3 (F (4))

Наименьшие примитивные простые делители числа F ( n ) равны

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, ... (последовательность A001578 в OEIS )

Теорема Кармайкла гласит, что каждое число Фибоначчи, за исключением перечисленных выше исключений, имеет по крайней мере один примитивный простой делитель.

Если n > 1, то n- е число Пелла имеет по крайней мере один простой делитель, который не делит любое предыдущее число Пелла. Наименьший примитивный простой делитель n- го числа Пелла равны

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241, ... (последовательность A246556 в OEIS )

Смотрите также

• Теорема Жигмонди

Ссылки

• Кармайкл, РД (1913), "О численных факторов арифметических форм & alpha ; ^п ± & beta ; ^п ", Анналы математики , 15 (1/4): 30-70, DOI : 10,2307 / 1967797 , JSTOR  1967797.