Теорема Брианшона - Brianchon's theorem

Теорема Брианшона

В геометрии , Брианшон теорема является теорема о том , что когда шестиугольник является ограниченным вокруг конического сечения , его главные диагонали (те , соединяющие противоположные вершины) встречается в одной точке. Он назван в честь Шарля Жюльена Брианшона (1783–1864).

Официальное заявление

Пусть будет шестиугольник , образованный шесть касательных одного конического сечения . Затем прямые (расширенные диагонали, каждая из которых соединяет противоположные вершины) пересекаются в одной точке , точке Брианшона . ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4} P_ {5} P_ {6}}$${\ displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {4}}}, \; {\ overline {P_ {2} P_ {5}}}, \; {\ overline {P_ {3} P_ {6}} }}$ ${\ displaystyle B}$

Связь с теоремой Паскаля

Полярные взаимный и проективны двойственная этой теорема поддавки теоремы Паскаля .

Дегенерации

3-касательное вырождение теоремы Брианшона

Что касается теоремы Паскаля, существуют вырождения и для теоремы Брианшона: Пусть совпадают две соседние касательные. Их точка пересечения становится точкой коники. На диаграмме совпадают три пары соседних касательных. Результатом этой процедуры является выписка из эллипсов треугольников. С проективной точки зрения два треугольника и лежат перспективно с центром . Это означает, что существует центральная коллинеация, которая отображает одно на другой треугольник. Но только в особых случаях эта коллинеация является аффинным масштабированием. Например, для эллипса Штайнера, где точка Брианшона является центроидом. ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {3} P_ {5}}$${\ displaystyle P_ {2} P_ {4} P_ {6}}$${\ displaystyle B}$

В аффинной плоскости

Теорема Брианшона верна как на аффинной плоскости, так и на действительной проективной плоскости . Однако его изложение в аффинной плоскости в некотором смысле менее информативно и сложнее, чем в проективной плоскости . Рассмотрим, например, пять касательных к параболе . Их можно рассматривать как стороны шестиугольника, шестая сторона которого является бесконечно удаленной линией , но на аффинной плоскости нет бесконечно удаленной прямой. В двух случаях линия от (несуществующей) вершины к противоположной вершине будет линией, параллельной одной из пяти касательных. Теорема Брианшона, сформулированная только для аффинной плоскости, в такой ситуации должна быть сформулирована иначе.

Проективный двойник теоремы Брианшона имеет исключения в аффинной плоскости, но не в проективной плоскости.

Доказательство

Теорема Брианшона может быть доказана идеей радикальной оси или возвратно-поступательного движения.

Смотрите также

• Теорема семи кругов
• Теорема Паскаля

Рекомендации