Формула Бретшнайдера - Bretschneider's formula

В геометрии , формула Бретшнейдера является следующим выражением для области общего четырехугольника :

${\ Displaystyle К = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}$

${\ displaystyle = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {2}} abcd [1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)]}}.}$

Здесь a , b , c , d - стороны четырехугольника, s - полупериметр , а α и γ - два противоположных угла.

Формула Бретшнайдера работает с любым четырехугольником, независимо от того, является он циклическим или нет.

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер открыл формулу в 1842 году. Формула была также выведена в том же году немецким математиком Карлом Георгом Кристианом фон Штаудтом .

Доказательство

Обозначим площадь четырехугольника по K . Тогда у нас есть

${\ displaystyle {\ begin {align} K & = {\ text {area of}} \ треугольник ADB + {\ text {area of}} \ треугольник BDC \\ & = {\ frac {ad \ sin \ alpha} {2} } + {\ frac {bc \ sin \ gamma} {2}}. \ end {align}}}$

Следовательно

${\ displaystyle 2K = (ad) \ sin \ alpha + (bc) \ sin \ gamma.}$

${\ Displaystyle 4K ^ {2} = (объявление) ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + 2abcd \ sin \ alpha \ sin \ gamma .}$

Закон косинусов следует , что

${\ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos \ alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ gamma,}$

потому что обе стороны равны квадрату длины диагонали BD . Это можно переписать как

${\ displaystyle {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (ad) ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2abcd \ cos \ alpha \ cos \ gamma.}$

Добавление этого к приведенной выше формуле для 4 K ² дает

${\ displaystyle {\ begin {align} 4K ^ {2} + {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} { 4}} & = (ad) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd-2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd (\ cos (\ alpha + \ gamma) +1) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ left ({\ frac {\ cos (\ alpha + \ gamma) +1} {2}} \ right) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right). \ end {align}}}$

Обратите внимание: (тригонометрическая идентичность верна для всех ) ${\ Displaystyle \ соз ^ {2} {\ гидроразрыва {\ альфа + \ гамма} {2}} = {\ гидроразрыва {1+ \ соз (\ альфа + \ гамма)} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}}}$

Следуя тем же шагам, что и в формуле Брахмагупты , это можно записать как

${\ Displaystyle 16K ^ {2} = (a + b + cd) (a + b-c + d) (a-b + c + d) (- a + b + c + d) -16abcd \ cos ^ { 2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right).}$

Представляем полупериметр

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}},}$

выше становится

${\ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (sd) (sc) (sb) (sa) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right) }$

${\ displaystyle K ^ {2} = (sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)}$

и формула Бретшнайдера следует после извлечения квадратного корня из обеих частей:

${\ Displaystyle К = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}$

Связанные формулы

Формула Бретшнайдера обобщает формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника , которая, в свою очередь, обобщает формулу Герона для площади треугольника .

Тригонометрическая поправка в формуле Бретшнайдера для нецикличности четырехугольника может быть переписана нетригонометрически в терминах сторон и диагоналей e и f, чтобы получить

${\ displaystyle {\ begin {align} K & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} - (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {4}} (ac + bd + ef) (ac + bd-ef)}}. \ end {выравнивается}}}$

Заметки

Ссылки и дополнительная литература

• Аюб, Аюб Б. (2007). «Обобщения теорем Птолемея и Брахмагупты». Математика и компьютерное образование . 41 (1). ISSN  0730-8639 .
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( онлайн-копия, на немецком языке )
• Ф. Штрелке: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( онлайн-копия, на немецком языке )

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Бретшнайдера» . MathWorld .
• Формула Бретшнайдера на proofwiki.org