Формула Брахмагупты - Brahmagupta's formula

В евклидовой геометрии , Брахмагупта формула «s используется , чтобы найти область любого циклического четырехугольник (тот , который может быть вписан в круг) с учетом длины сторон.

Формула

Формула брахмагупты дает площадь K в виде циклического четырехугольник , стороны которого имеют длины , б , с , д , как

где s , полупериметр , определяется как

Эта формула обобщает формулу Герона для площади треугольника . Треугольник можно рассматривать как четырехугольник с одной стороной нулевой длины. С этой точки зрения, когда d приближается к нулю, циклический четырехугольник сходится в циклический треугольник (все треугольники циклические), а формула Брахмагупты упрощается до формулы Герона.

Если полупериметр не используется, формула Брахмагупты имеет вид

Другая эквивалентная версия -

Доказательство

Схема для справки

Тригонометрическое доказательство

Здесь использованы обозначения на рисунке справа. Площадь K вписанного четырехугольника равна сумме площадей ADB и BDC :

Но поскольку □ ABCD - вписанный четырехугольник, DAB = 180 ° - DCB . Следовательно , грех A = грех C . Следовательно,

(используя  тригонометрическое тождество )

Решение для общей боковой БД , в АБР и НМТ , то закон косинусов дает

Заменяя соз С = соз (с углами и C являются дополнительными ) и перегруппировки, мы имеем

Подставляя это в уравнение для площади,

Правая часть имеет вид a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) и, следовательно, может быть записана как

что после перестановки членов в квадратных скобках дает

Вводя полупериметр S = п + д + г + с/2,

Извлекая квадратный корень, получаем

Нетригонометрическое доказательство

Альтернативное, нетригонометрическое доказательство использует два приложения формулы площади треугольника Герона к аналогичным треугольникам.

Продолжение на нециклические четырехугольники

В случае нециклических четырехугольников формулу Брахмагупты можно расширить, рассматривая меры двух противоположных углов четырехугольника:

где θ - половина суммы любых двух противоположных углов. (Выбор пары противоположных углов не имеет значения: если взять два других угла, половина их суммы будет равна 180 ° - θ . Поскольку cos (180 ° - θ ) = −cos θ , мы имеем cos 2 (180 ° - θ ) = cos 2 θ .) Эта более общая формула известна как формула Бретшнейдера .

Это свойство вписанных четырехугольников (и, в конечном счете, вписанных углов ), что сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 °. Следовательно, в случае вписанного четырехугольника θ равно 90 °, поэтому член

давая основную форму формулы Брахмагупты. Из последнего уравнения следует, что площадь вписанного четырехугольника - это максимально возможная площадь для любого четырехугольника с заданными длинами сторон.

Родственная формула, доказанная Кулиджем , также дает площадь общего выпуклого четырехугольника. это

где p и q - длины диагоналей четырехугольника. В вписанном четырехугольнике , рд = ас + о.-д. согласно теореме Птолемея и формуле Кулидж сводится к формуле Брахмагуптов.

Связанные теоремы

  • Формула Герона для площади треугольника - частный случай, полученный при d = 0 .
  • Связь между общей и расширенной формами формулы Брахмагупты аналогична тому, как закон косинусов расширяет теорему Пифагора .
  • Все более сложные формулы замкнутой формы существуют для площади общих многоугольников на окружностях, как описано Maley et al.

использованная литература

внешние ссылки

Эта статья включает в себя материал из доказательства формулы Брахмагупты на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .