Формула Брахмагупты - Brahmagupta's formula
В евклидовой геометрии , Брахмагупта формула «s используется , чтобы найти область любого циклического четырехугольник (тот , который может быть вписан в круг) с учетом длины сторон.
Формула
Формула брахмагупты дает площадь K в виде циклического четырехугольник , стороны которого имеют длины , б , с , д , как
где s , полупериметр , определяется как
Эта формула обобщает формулу Герона для площади треугольника . Треугольник можно рассматривать как четырехугольник с одной стороной нулевой длины. С этой точки зрения, когда d приближается к нулю, циклический четырехугольник сходится в циклический треугольник (все треугольники циклические), а формула Брахмагупты упрощается до формулы Герона.
Если полупериметр не используется, формула Брахмагупты имеет вид
Другая эквивалентная версия -
Доказательство
Тригонометрическое доказательство
Здесь использованы обозначения на рисунке справа. Площадь K вписанного четырехугольника равна сумме площадей △ ADB и △ BDC :
Но поскольку □ ABCD - вписанный четырехугольник, ∠ DAB = 180 ° - DCB . Следовательно , грех A = грех C . Следовательно,
(используя тригонометрическое тождество )
Решение для общей боковой БД , в △ АБР и △ НМТ , то закон косинусов дает
Заменяя соз С = соз (с углами и C являются дополнительными ) и перегруппировки, мы имеем
Подставляя это в уравнение для площади,
Правая часть имеет вид a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) и, следовательно, может быть записана как
что после перестановки членов в квадратных скобках дает
Вводя полупериметр S = п + д + г + с/2,
Извлекая квадратный корень, получаем
Нетригонометрическое доказательство
Альтернативное, нетригонометрическое доказательство использует два приложения формулы площади треугольника Герона к аналогичным треугольникам.
Продолжение на нециклические четырехугольники
В случае нециклических четырехугольников формулу Брахмагупты можно расширить, рассматривая меры двух противоположных углов четырехугольника:
где θ - половина суммы любых двух противоположных углов. (Выбор пары противоположных углов не имеет значения: если взять два других угла, половина их суммы будет равна 180 ° - θ . Поскольку cos (180 ° - θ ) = −cos θ , мы имеем cos 2 (180 ° - θ ) = cos 2 θ .) Эта более общая формула известна как формула Бретшнейдера .
Это свойство вписанных четырехугольников (и, в конечном счете, вписанных углов ), что сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 °. Следовательно, в случае вписанного четырехугольника θ равно 90 °, поэтому член
давая основную форму формулы Брахмагупты. Из последнего уравнения следует, что площадь вписанного четырехугольника - это максимально возможная площадь для любого четырехугольника с заданными длинами сторон.
Родственная формула, доказанная Кулиджем , также дает площадь общего выпуклого четырехугольника. это
где p и q - длины диагоналей четырехугольника. В вписанном четырехугольнике , рд = ас + о.-д. согласно теореме Птолемея и формуле Кулидж сводится к формуле Брахмагуптов.
Связанные теоремы
- Формула Герона для площади треугольника - частный случай, полученный при d = 0 .
- Связь между общей и расширенной формами формулы Брахмагупты аналогична тому, как закон косинусов расширяет теорему Пифагора .
- Все более сложные формулы замкнутой формы существуют для площади общих многоугольников на окружностях, как описано Maley et al.
использованная литература
внешние ссылки
- Формула Брахмагупты в ProofWiki
- Вайсштейн, Эрик В. «Формула Брахмагупты» . MathWorld .
Эта статья включает в себя материал из доказательства формулы Брахмагупты на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .