Брахмагупта - Brahmagupta
Брахмагупта | |
---|---|
Родился | c. 598 г. н.э. |
Умер | c. 668 г. н. Э. (В возрасте около 59–60 лет) |
Известен | |
Научная карьера | |
Поля | Астрономия , математика |
Под влиянием | Практически вся последующая математика, особенно индийская и исламская математика |
Брахмагупта ( ок. 598 - ок. 668 н . Э. ) Был индийским математиком и астрономом . Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии : Brāhmasphuṭasiddhānta (БСС «правильно установлено учение о Брахмы », датированный 628), теоретический трактат, и Khaṇḍakhādyaka ( «съедобный укусить», датированный 665), более практичным текст.
Брахмагупта был первым, кто дал правила вычислений с нулем . Тексты, составленные Брахмагуптой, были написаны эллиптическими стихами на санскрите , что было обычной практикой в индийской математике . Поскольку никаких доказательств не приводится, неизвестно, как были получены результаты Брахмагупты.
Жизнь и карьера
Брахмагупта родился в 598 году н.э., согласно его собственному утверждению. Он жил в Бхилламале в Гурджарадеше (современный Бхинмал в Раджастане , Индия) во время правления правителя династии Чавда , Вьяграхамукхи . Он был сыном Джишнугупты и был индуистом по религии, в частности, шиваитом . Он жил и работал там большую часть своей жизни. Притхудака Свамин , более поздний комментатор, называл его Бхилламалачарья , учителем из Бхилламалы.
Бхилламала была столицей Гурджарадеши , второго по величине королевства Западной Индии, включающего южный Раджастхан и северный Гуджарат в современной Индии. Это также был центр изучения математики и астрономии. Брахмагупта стал астрономом школы Брахмапакша , одной из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучил пять традиционных сиддхант по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхату I , Латадеву, Прадьюмну, Варахамихиру , Симху, Шрисену, Виджаянандина и Вишнучандру.
В 628 году, в возрасте 30 лет , он написал Brāhmasphuṭasiddhānta ( «улучшенный трактат Брахмы») , который , как полагают, пересмотренная версия принятого сиддханте в Brahmapaksha школе астрономии. Ученые утверждают, что он вложил много оригинальности в свою редакцию, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав со 1008 стихами в метре арья . По большей части это астрономия, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, сделанные самим Брахмагуптой.
Позже Брахмагупта переехал в Удджайни , Аванти , который также был крупным центром астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свою следующую известную работу Khanda-khādyaka , практическое руководство по индийской астрономии в категории карана, предназначенное для студентов.
Брахмагупта умер в 668 году нашей эры, и предполагается, что он умер в Удджайне.
Работает
Брахмагупта составил следующие трактаты:
- Brāhmasphuasiddhānta , составленный в 628 году нашей эры.
- Хатахадяка , составленная в 665 г. н.э.
- Grahaṇārkajñāna (приписывается в одной рукописи)
Прием
Математические достижения Брахмагупты были продолжены Бхаскарой II , прямым потомком в Удджайне, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужина круга математиков). Притхудака Свамин написал комментарии к обеим своим работам, переводя сложные стихи на более простой язык и добавляя иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в VIII и IX веках написали комментарии к Кханда-хадьяке . Дальнейшие комментарии продолжали писать в 12 веке.
Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд перешел под власть Арабского халифата в 712 году нашей эры. Экспедиции были отправлены в Гурджарадешу (« Аль-Байламан в Джурзе », по мнению арабских историков). Королевство Бхилламала, похоже, было уничтожено, но Удджайн отбил атаки . Двор халифа аль-Мансура (754–775) принял посольство из Синда, в том числе астролога по имени Канака, который принес (возможно, запомнил) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммадом аль-Фазари , астрономом при дворе Аль-Мансура под именами Синдхинд и Аракханд . Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. Н.э.) написал текст под названием al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Сложение и вычитание в индийской арифметике), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum . Благодаря этим текстам десятичная система счисления и арифметические алгоритмы Брахмагупты распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою собственную версию Синдхинда , опираясь на версию Аль-Фазари и включив элементы Птолемея. Индийский астрономический материал широко распространялся на протяжении веков, даже переходя в средневековые латинские тексты.
Историк науки Джордж Сартон назвал Брахмагупту «одним из величайших ученых своей расы и величайшим ученым своего времени».
Математика
Алгебра
Брахмагупта дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе Брахмаспхунасиддханты ,
Разница между рупами , когда инвертируется и делится на разность [коэффициентов] неизвестных, является неизвестным в уравнении. В rupas являются [вычитают на стороне] ниже, из которых квадрат и неизвестное должны быть вычтены.
которое является решением уравнения bx + c = dx + e, где rupas относится к константам c и e . Данное решение эквивалентно x = е - с/б - г. Далее он дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения
18,44. Уменьшить на среднее [число] квадратный корень из руп, умноженный на четыре квадрата и умноженный на квадрат среднего [числа]; остаток разделите на квадрат вдвое. [Результат] среднее [число].
18,45. Независимо от того, что является квадратным корнем из руп, умноженным на квадрат [и] умноженным на квадрат половины неизвестного, уменьшенным на половину неизвестного [и] разделив [остаток] на его квадрат. [Результат] неизвестное.
которые являются, соответственно, решениями уравнения ax 2 + bx = c, эквивалентными,
а также
Он продолжил решение систем одновременных неопределенных уравнений, в которых утверждалось, что сначала необходимо изолировать желаемую переменную, а затем разделить уравнение на коэффициент желаемой переменной . В частности, он рекомендовал использовать «измельчитель» для решения уравнений с несколькими неизвестными.
18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], деленный на первый [коэффициент цвета], является мерой первого. [Термины] два на два [считаются] [сводятся к] аналогичным делителям [и так далее] повторно. Если [цветов] много, то [следует использовать] измельчитель.
Подобно алгебре Диофанта , алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение было обозначено размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемым, а деление - помещением делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов. Степень греческого влияния на это синкопирование , если таковое имеется, неизвестна, и возможно, что и греческое, и индийское синкопирование могут происходить из общего вавилонского источника.
Арифметика
Четыре основных операции (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны во многих культурах до Брахмагупты. Эта нынешняя система основана на индуистско-арабской системе счисления и впервые появилась в Брахмаспхунасиддханте . Брахмагупта описывает умножение следующим образом:
Множаемое повторяется, как строка для крупного рогатого скота, столько раз, сколько в множителе есть интегрируемые части, и многократно умножается на них, а произведения складываются. Это умножение. Или множимое повторяется столько раз, сколько составных частей множителя.
Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как modus Indorum, что означает «метод индейцев». В « Брахмаспхунасиддханте» описаны четыре метода умножения, включая гомутрику , которая, как говорят, близка к современным методам. В начале двенадцатой главы своей Brāhmasphuasiddhānta , озаглавленной «Вычисление», Брахмагупта подробно описывает операции с дробями. Ожидается, что читатель знает основные арифметические операции, вплоть до извлечения квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень из целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила работы с пятью типами комбинаций дробей:а/c + б/c; а/c × б/d; а/1 + б/d; а/c + б/d × а/c знак равно а ( г + б )/CD; а такжеа/c - б/d × а/c знак равно а ( г - б )/CD.
Серии
Затем Брахмагупта приводит сумму квадратов и кубиков первых n целых чисел.
12.20. Сумма квадратов равна тому, что [сумма], умноженная на два, [количество] шагов, увеличивается на единицу [и] делится на три. Сумма кубиков - это квадрат этой [суммы]. Груды из них с одинаковыми шарами [также можно вычислить].
Здесь Брахмагупта нашел результат в терминах суммы первых n целых чисел, а не в терминах n, как это принято в современной практике.
Он дает сумму квадратов первых n натуральных чисел какп ( п + 1) (2 п + 1)/6и сумма кубиков первых n натуральных чисел как (п ( п + 1)/2)2
.
Нуль
« Брахмаспхушасиддханта» Брахмагупты - первая книга, в которой представлены правила арифметических операций , применимые к нулю и отрицательным числам . Brāhmasphuṭasiddhānta является самым ранним из известного текста лакомства нуля как число в своем собственном праве, а не просто как заполнитель цифра в представлении другого номера , как это было сделано в Вавилоне или как символ отсутствия количества , как это было сделано Птолемеем и что римляне . В восемнадцатой главе своей Брахмаспхунасиддханты Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Сначала он описывает сложение и вычитание,
18.30. [Сумма] двух положительных моментов - положительных, двух отрицательных - отрицательных; положительного и отрицательного [сумма] - их разница; если они равны, он равен нулю. Сумма отрицательного значения и нуля отрицательна, [сумма] положительного и нулевого положительного, [и эта] двух нулей равна нулю.
[...]
18.32. Отрицательный минус ноль - отрицательный, положительный [минус ноль] положительный; ноль [минус ноль] равен нулю. Когда положительное должно быть вычтено из отрицательного или отрицательное из положительного, тогда оно должно быть добавлено.
Он продолжает описывать умножение,
18.33. Произведение отрицательного и положительного отрицательно, двух отрицательных положительных и положительных положительных; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю.
Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:
18,34. Положительное, разделенное на положительное, или отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным; ноль, деленный на ноль, равен нулю; положительное, разделенное на отрицательное, - отрицательное; отрицательный разделенный на положительный [также] отрицательный.
18.35. Отрицательное или положительное, деленное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве делителя, или ноль, деленный на отрицательное или положительное [имеет этот отрицательный или положительный знак в качестве делителя]. Квадрат отрицательного или положительного - положительный; [квадрат] нуля равен нулю. То, из чего [квадрат] является квадратом, есть [его] квадратный корень.
Здесь Брахмагупта заявляет, что 0/0 = 0, а что касается вопроса о а/0где a ≠ 0 он не брал на себя обязательств. Его правила арифметического на отрицательных чисел и нуля довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль слева неопределенными .
Диофантов анализ
Пифагорейские тройни
В двенадцатой главе своей Brāhmasphuṭasiddhānta Брахмагупта приводит формулу, полезную для создания пифагорейских троек :
12,39. Высота горы, умноженная на данный множитель, и есть расстояние до города; не стирается. Когда он делится на множитель, увеличенный на два, это прыжок одного из двоих, совершающих одно и то же путешествие.
Или, другими словами, если d =mx/х + 2, то путешественник, который "прыгает" вертикально вверх на расстояние d от вершины горы высотой m , а затем едет по прямой к городу на горизонтальном расстоянии mx от основания горы, преодолевает такое же расстояние, как тот, кто спускается вертикально вниз с горы, а затем идет по горизонтали к городу. С геометрической точки зрения это означает, что если прямоугольный треугольник имеет длину основания a = mx и высоту b = m + d , то длина c его гипотенузы определяется выражением c = m (1 + x ). - d . И действительно, элементарные алгебраические манипуляции показывают, что a 2 + b 2 = c 2 всякий раз, когда d имеет указанное значение. Кроме того, если m и x рациональны, то также будут d , a , b и c . Следовательно, тройку Пифагора можно получить из a , b и c , умножив каждую из них на наименьшее общее кратное их знаменателей .
Уравнение Пелла
Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений некоторых примеров диофантовых уравнений второй степени, таких как Nx 2 + 1 = y 2 (называемое уравнением Пелля ), с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части.
Характер квадратов:
18,64. [Положите] удвоенный квадратный корень из данного квадрата на множитель и увеличьте или уменьшите на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, на произведение последней [пары] вычисляется последним.
18,65. Сумма произведений молнии - первая. Добавка равна продукту добавок. Два квадратных корня, разделенные на аддитивное или вычитающее, являются аддитивными рупами .
Ключом к его решению была личность,
что является обобщением тождества, открытого Диофантом ,
Используя его тождество и тот факт, что если ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) являются решениями уравнений x 2 - Ny 2 = k 1 и x 2 - Ny 2 = k 2 , соответственно, то ( x 1 x 2 + Ny 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) является решением x 2 - Ny 2 = k 1 k 2 , он смог найти интегральные решения уравнения Пелла с помощью ряда уравнений вида x 2 - Ny 2 = k i . Брахмагупта не смог применить свое решение единообразно для всех возможных значений N , скорее он смог только показать, что если x 2 - Ny 2 = k имеет целочисленное решение для k = ± 1, ± 2 или ± 4, то x 2 - Ny 2 = 1 имеет решение. Решение общего уравнения Пелла должно было подождать Бхаскара II в c. 1150 CE .
Геометрия
Формула Брахмагупты
Самый известный результат Брахмагупты в геометрии - это его формула для циклических четырехугольников . Учитывая длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приблизительную и точную формулу для площади фигуры:
12.21. Приблизительная площадь равна произведению половин сумм сторон и противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] - это квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника.
Таким образом, учитывая длины p , q , r и s вписанного четырехугольника, приблизительная площадь равнап + г/2 · q + s/2в то время как, полагая t =п + д + г + с/2, точная площадь
- √ ( t - p ) ( t - q ) ( t - r ) ( t - s ) .
Хотя Брахмагупта прямо не заявляет, что эти четырехугольники циклические, из его правил очевидно, что это так. Формула Герона является частным случаем этой формулы, и ее можно получить, установив одну из сторон равной нулю.
Треугольники
Брахмагупта посвятил значительную часть своих работ геометрии. Согласно одной теореме длины двух отрезков, на которые делится основание треугольника, определяется его высотой:
12.22. База уменьшалась и увеличивалась на разность квадратов сторон, разделенных основанием; при делении на два они являются настоящими сегментами. Перпендикуляр [высота] - это квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенный на квадрат ее сегмента.
Таким образом, длины двух сегментов равны 1/2( b ±с 2 - а 2/б) .
Далее он дает теорему о рациональных треугольниках . Треугольник с рациональными сторонами a , b , c и рациональной площадью имеет вид:
для некоторых рациональных чисел u , v и w .
Теорема Брахмагупты
Брахмагупта продолжает:
12.23. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противоположных сторон неравного четырехугольника - это диагональ. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень - это перпендикуляр [высоты].
Итак, в «неравном» циклическом четырехугольнике (то есть равнобедренной трапеции ) длина каждой диагонали равна √ pr + qs .
Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей разностороннего циклического четырехугольника. Это приводит к знаменитой теореме Брахмагупты ,
12.30–31. Представив два треугольника внутри [кругового четырехугольника] с неравными сторонами, две диагонали являются двумя основаниями. Их два сегмента представляют собой отдельно верхний и нижний сегменты [образованные] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей - это две стороны треугольника; основание [четырехугольника - основание треугольника]. Его перпендикуляр - это нижняя часть [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра равна половине суммы [сторон] перпендикуляров, уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра].
Пи
В стихе 40 он дает значения π ,
12,40. Диаметр и квадрат радиуса [каждый], умноженные на 3, представляют собой [соответственно] практическую длину окружности и площадь [круга]. Точные [значения] - это квадратные корни из квадратов этих двух, умноженных на десять.
Итак, Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение π и как «точное» значение π с ошибкой менее 1%.
Размеры и конструкции
В некоторых стихах перед стихом 40 Брахмагупта дает конструкции из различных фигур с произвольными сторонами. Он, по сути, манипулировал прямоугольными треугольниками, создавая равнобедренные треугольники, равнобедренные треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний циклический четырехугольник.
После определения числа пи он занимается геометрией плоских фигур и твердых тел, например, находит объемы и площади поверхности (или пустые пространства, выкопанные из твердых тел). Он находит объем прямоугольных призм, пирамид и усеченную пирамиду квадратной пирамиды. Далее он находит среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченной пирамиды он дает "прагматическое" значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения краев верхней и нижней граней, и он дает "поверхностный" объем как глубину, умноженную на их среднее значение. площадь.
Тригонометрия
Таблица синусов
В главе 2 своей Брахмаспхунасиддханты , озаглавленной « Истинные планетарные долготы» , Брахмагупта представляет таблицу синусов:
2.2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; ароматизаторы, игральные кости, боги; луна, пятерка, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...]
Здесь Брахмагупта использует имена объектов для представления цифр в числовых значениях мест, как это обычно бывает с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означает 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют собой количество сторон традиционного кубика или 6 и так далее. Эту информацию можно перевести в список синусов, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159. , 3207, 3242, 3263 и 3270 с радиусом 3270 (эти числа представляют для ).
Формула интерполяции
В 665 г. Брахмагупта разработал и использовал специальный случай интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга второго порядка для интерполяции новых значений синусоидальной функции из других значений, уже приведенных в таблице. Формула дает оценку значения функции f при значении a + xh ее аргумента (с h > 0 и −1 ≤ x ≤ 1 ), когда ее значение уже известно при a - h , a и a + h .
Формула оценки:
где Δ - оператор прямой разности первого порядка , т. е.
Астрономия
Брахмагупта подверг большой критике работы соперничающих астрономов, а его Брахмаспхунасиддханта показывает один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Раздел касался прежде всего приложения математики к физическому миру, а не самой математики. В случае Брахмагупты разногласия возникли в основном из-за выбора астрономических параметров и теорий. Критика конкурирующих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава целиком посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах никакой критики не появляется.
Одним из важных вкладов Брахмагупты в астрономию являются его методы расчета положения небесных тел во времени ( эфемериды ), их восхода и захода, соединения и расчета солнечных и лунных затмений .
В седьмой главе своей Брахмаспхунасиддханты , озаглавленной « Лунный полумесяц» , Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем.
1. Если бы Луна находилась над Солнцем, как можно было бы получить силу возрастания и убывания и т. Д. Из расчета долготы Луны? Ближайшая половина всегда будет яркой.
2. Точно так же, как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнечном свете, яркая, а невидимая половина темная, так же и [свечение] луны [если она] под солнцем.
3. Яркость увеличивается по направлению к солнцу. В конце светлого [т. Е. Прибывающего] полумесяца ближняя половина становится яркой, а дальняя половина - темной. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] расчетным путем. [...]
Он объясняет, что, поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенной части Луны зависит от относительного положения Солнца и Луны, и это можно вычислить, исходя из размера угла между ними. тела.
Дальнейшие исследования долготы планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов солнца, полумесяца Луны и соединения планет обсуждаются в его трактате Хандакхадьяка .
Смотрите также
- Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
- Формула Брахмагупты
- Теорема Брахмагупты
- Метод чакравалы
- Список индийских математиков
Цитаты и сноски
использованная литература
- Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманской власти и присутствия на Индийском субконтиненте , Рутледж, ISBN 978-0-415-58061-8
- Bose, DM; Сен, СН; Суббараяппа, Б.В. (1971), Краткая история науки в Индии , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, архивировано с оригинала 8 декабря 2015 г.
- Бхаттачарья, РК (2011), «Брахмагупта: древний индийский математик», в Б.С. Ядав; Ман Мохан (ред.), Древние индийские прыжки в математику , Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
- Бойер, Карл Б. (1991), История математики , John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
- Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
- Гупта, Радха Чаран (2008), «Брахмагупта» , в Селине, Хелайне (ред.), Энциклопедия истории науки, технологии и медицины в незападных культурах , Спрингер, стр. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2
- Джозеф, Джордж Г. (2000), Гребень павлина , Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
- О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука перешла к арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN 8187570245
- Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии» , Виктор Кац (редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
- Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
- Хоккей, Томас, изд. (2007), «Брахмагупта», Биографическая энциклопедия астрономов , Springer Science & Business Media, стр. 165, ISBN 978-0387304007
дальнейшее чтение
- Сетуро Икеама (2003). Брахмаспхунасиддханта Брахмагупты с комментарием Притудхаки, критически отредактированный с английским переводом и примечаниями . INSA.
- Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS) . Американское философское общество. A4, стр. 254.
- Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии . Питамбар Паблишинг. ISBN 9788120914216.
- О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Брахмагупта" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет
внешние ссылки
- Brahma-sphuta-siddhanta Брахмагупты отредактировал Рам Сваруп Шарма, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
- Алгебра с арифметикой и измерениями, из санскрита Брахмегупты и Бхаскары в Интернет-архиве , переведенный Генри Томасом Колбруком . [1]