Прыгающий мяч - Bouncing ball

Прыгающий мяч. Движение не совсем параболическое из-за сопротивления воздуха .

Физика отскок касается физического поведения прыгающих шариков , в частности , его движения до, во время и после удара о поверхности другого тела . Некоторые аспекты поведения прыгающего мяча служат введением в механику в средней школе или на курсах физики бакалавриата . Однако точное моделирование поведения сложно и интересно в спортивной инженерии .

Движение шара обычно описывается движением снаряда (на которое могут влиять сила тяжести , сопротивление , эффект Магнуса и плавучесть ), в то время как его удар обычно характеризуется коэффициентом восстановления (на который может влиять природа мяч, характер ударяющей поверхности, скорость удара, вращение и местные условия, такие как температура и давление ). Чтобы гарантировать честную игру , многие спортивные руководящие органы устанавливают ограничения на подпрыгивание своего мяча и запрещают изменение аэродинамических свойств мяча. Подвижность мячей была характерной чертой таких древних видов спорта, как мезоамериканские игры с мячом .

Силы во время полета и влияние на движение

Силы, действующие на вращающийся шар во время его полета, - это сила тяжести ( F _G ), сила сопротивления ( F _D ), сила Магнуса ( F _M ) и подъемная сила ( F _B ).

Движение прыгающего мяча подчиняется движению снаряда . На настоящий мяч действуют многие силы, а именно сила тяжести ( F _G ), сила сопротивления из-за сопротивления воздуха ( F _D ), сила Магнуса из-за вращения мяча ( F _M ) и выталкивающая сила ( F _B ). . В общем, для анализа движения шара необходимо использовать второй закон Ньютона с учетом всех сил:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum \ mathbf {F} & = m \ mathbf {a}, \\\ mathbf {F} _ {\ text {G}} + \ mathbf {F} _ {\ text {D}} + \ mathbf {F} _ {\ text {M}} + \ mathbf {F} _ {\ text {B}} & = m \ mathbf {a} = m {\ frac {d \ mathbf { v}} {dt}} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}, \ end {выровнено}}}$

где m - масса шара. Здесь a , v , r представляют собой ускорение , скорость и положение мяча за время t .

Сила тяжести

Траектория отскока мяча под углом 70 ° после удара без сопротивления  , с сопротивлением Стокса  , а с перетаскиванием Ньютона  .

Сила тяжести направлена ​​вниз и равна

${\ displaystyle F _ {\ text {G}} = мг,}$

где m - масса шара, а g - ускорение свободного падения , которое на Земле изменяется в пределах9,764  м / с ² и9,834 м / с ² . Поскольку другие силы обычно невелики, движение часто идеализируется как находящееся только под действием силы тяжести. Если на мяч действует только сила тяжести, механическая энергия будет сохраняться во время его полета. В этом идеализированном случае уравнения движения имеют вид

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & = - g \ mathbf {\ hat {j}}, \\\ mathbf {v} & = \ mathbf {v} _ {\ text {0}} + \ mathbf {a} t, \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ mathbf { а} т ^ {2}, \ конец {выровнено}}}$

где a , v и r обозначают ускорение, скорость и положение мяча, а v ₀ и r ₀ - начальная скорость и положение мяча соответственно.

Более конкретно, если мяч отскакивает от земли под углом θ , движение по осям x и y (представляющее горизонтальное и вертикальное движение соответственно) описывается следующим образом:

Уравнения подразумевают, что максимальная высота ( H ), дальность ( R ) и время полета ( T ) мяча, отскакивающего от плоской поверхности, определяются выражением

${\ displaystyle {\ begin {align} H & = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}} \ sin ^ {2} \ left (\ theta \ right), \\ R & = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin \ left (2 \ theta \ right), ~ {\ text {and}} \\ T & = {\ frac {2v_ {0}} {g} } \ sin \ left (\ theta \ right). \ end {align}}}$

Дальнейшие уточнения движения мяча можно сделать, приняв во внимание сопротивление воздуха (и связанные с ним эффекты, такие как сопротивление и ветер ), эффект Магнуса и плавучесть . Поскольку более легкие шары ускоряются быстрее, на их движение, как правило, больше влияют такие силы.

Тащить

Воздушный поток вокруг мяча может быть ламинарным или турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса (Re), которое определяется как:

${\ displaystyle {\ text {Re}} = {\ frac {\ rho Dv} {\ mu}},}$

где ρ - плотность воздуха , μ - динамическая вязкость воздуха, D - диаметр мяча, а v - скорость полета мяча в воздухе. При температуре от20 ° С , ρ =1,2 кг / м ³ и μ =1,8 × 10 ^-5  Па · с .

Если число Рейнольдса очень мало (Re <1), сила сопротивления шара описывается законом Стокса :

${\ displaystyle F _ {\ text {D}} = 6 \ pi \ mu rv,}$

где r - радиус шара. Эта сила действует против направления мяча (в направлении ). Однако для большинства спортивных мячей число Рейнольдса находится в диапазоне от 10 ⁴ до 10 ^5, и закон Стокса не применяется. При этих более высоких значениях числа Рейнольдса сила сопротивления шара вместо этого описывается уравнением сопротивления : ${\ displaystyle \ textstyle - {\ hat {\ mathbf {v}}}}$

${\ displaystyle F _ {\ text {D}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {d}} Av ^ {2},}$

где C _d - коэффициент лобового сопротивления , а A - площадь поперечного сечения мяча.

Перетаскивание приведет к потере механической энергии мячом во время полета, уменьшит дальность полета и высоту, а боковой ветер отклонит его от первоначальной траектории. Оба эффекта должны быть приняты во внимание игроками, занимающимися такими видами спорта, как гольф.

Эффект Магнуса

Сила Магнуса, действующая на мяч с обратным вращением . Фигурные линии тока представляют собой турбулентный след . Воздушный поток отклоняется в сторону вращения.

В настольный теннис , опытный игрок может использовать вращение шара , чтобы повлиять на траекторию полета мяча в полете и его реакции при ударе с поверхностью. С верхним вращением мяч достигает максимальной высоты по мере полета (1), а затем резко изгибается вниз (2). Воздействие проталкивает мяч вперед (3) и будет иметь тенденцию подпрыгивать вверх при попадании противного игрока весла . В случае обратного вращения ситуация обратная .

Спина шара будет влиять на его траекторию через эффект Магнуса . Согласно теореме Кутта – Жуковски , для вращающейся сферы с невязким потоком воздуха сила Магнуса равна

${\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {8} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho \ omega v,}$

где r - радиус мяча, ω - угловая скорость (или скорость вращения) мяча, ρ - плотность воздуха, а v - скорость мяча относительно воздуха. Эта сила направлена ​​перпендикулярно движению и перпендикулярно оси вращения (в направлении ). Сила направлена ​​вверх для обратного вращения и вниз для верхнего вращения. На самом деле течение никогда не бывает гладким, и подъем Магнуса лучше описать ${\ displaystyle \ textstyle {\ hat {\ mathbf {\ omega}}} \ times {\ hat {\ mathbf {v}}}}$

${\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {L}} Av ^ {2},}$

где ρ - плотность воздуха, C _L - коэффициент подъемной силы , A - площадь поперечного сечения мяча, а v - скорость мяча относительно воздуха. Коэффициент подъемной силы - это комплексный фактор, который зависит, среди прочего, от отношения rω / v , числа Рейнольдса и шероховатости поверхности . В определенных условиях коэффициент подъемной силы может быть даже отрицательным, изменяя направление силы Магнуса ( обратный эффект Магнуса ).

В таких видах спорта, как теннис или волейбол , игрок может использовать эффект Магнуса для управления траекторией мяча (например, с помощью верхнего или обратного вращения ) во время полета. В гольфе , эффект отвечает за нарезку и подсекать которые обычно вред для игроков в гольф, но и помогает при увеличении дальности действия привода и других кадров. В бейсболе , кувшины использовать эффект для создания curveballs и другие специальных смол .

Подделка мяча часто является незаконной и часто оказывается в центре крикетных споров, например, между Англией и Пакистаном в августе 2006 года . В бейсболе термин « спитбол » относится к незаконному покрытию мяча слюной или другими веществами для изменения аэродинамики мяча.

Плавучесть

Любой объект, погруженный в жидкость, такую ​​как вода или воздух, будет испытывать подъемную плавучесть . Согласно принципу Архимеда , эта подъемная сила равна весу жидкости, вытесняемой объектом. В случае шара эта сила равна

${\ displaystyle F _ {\ text {B}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho g.}$

Выталкивающая сила обычно мала по сравнению с силами сопротивления и Магнуса, и ею часто можно пренебречь. Однако в случае с баскетбольным мячом подъемная сила может составлять около 1,5% веса мяча. Поскольку плавучесть направлена ​​вверх, она увеличивает дальность полета и высоту мяча.

Влияние

Сжатие (A → B) и декомпрессия (B → C) удара шара о поверхность. Сила удара обычно пропорциональна расстоянию сжатия, по крайней мере, для небольших сжатий, и может быть смоделирована как сила пружины .

Внешнее видео
Флориан Корн (2013). «Мяч, подпрыгивающий в замедленной съемке: резиновый мяч» . YouTube .

Когда мяч ударяется о поверхность, поверхность отскакивает и вибрирует , как и мяч, создавая звук и тепло , а мяч теряет кинетическую энергию . Кроме того, удар может придать шару некоторое вращение, преобразовав часть его поступательной кинетической энергии в кинетическую энергию вращения . Эта потеря энергии обычно характеризуется (косвенно) через коэффициент восстановления (или COR, обозначаемый e ):

${\ displaystyle e = - {\ frac {v _ {\ text {f}} - u _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}} - u _ {\ text {i}}}},}$

где v _f и v _i - конечная и начальная скорости мяча, а u _f и u _i - конечная и начальная скорости удара о поверхность соответственно. В конкретном случае, когда мяч ударяется о неподвижную поверхность, COR упрощает

${\ displaystyle e = - {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}}.}$

Таким образом, для мяча, упавшего на пол, COR будет варьироваться от 0 (без отскока, полная потеря энергии) до 1 (идеально подскакивает, без потерь энергии). Значение COR ниже 0 или выше 1 теоретически возможно, но будет указывать на то, что мяч прошел через поверхность ( e <0 ) или что поверхность не была "расслабленной", когда мяч столкнулся с ней ( e > 1 ), как в случай приземления мяча на подпружиненную платформу.

Для анализа вертикальной и горизонтальной составляющих движения COR иногда разделяют на нормальный COR ( e _y ) и тангенциальный COR ( e _x ), определяемый как

${\ displaystyle e _ {\ text {y}} = - {\ frac {v _ {\ text {yf}} - u _ {\ text {yf}}} {v _ {\ text {yi}} - u _ {\ text { yi}}}},}$

${\ displaystyle e _ {\ text {x}} = - {\ frac {(v _ {\ text {xf}} - r \ omega _ {\ text {f}}) - (u _ {\ text {xf}} - R \ Omega _ {\ text {f}})} {(v _ {\ text {xi}} - r \ omega _ {\ text {i}}) - (u _ {\ text {xi}} - R \ Omega _ {\ text {i}})}},}$

где r и ω обозначают радиус и угловую скорость мяча, а R и Ω обозначают радиус и угловую скорость ударной поверхности (такой как бейсбольная бита). В частности, rω - это тангенциальная скорость поверхности шара, а RΩ - тангенциальная скорость ударной поверхности. Это особенно интересно, когда мяч ударяется о поверхность под косым углом или когда речь идет о вращении .

Для прямого падения на землю без вращения, когда на мяч действует только сила тяжести, COR можно связать с несколькими другими величинами следующим образом:

${\ displaystyle e = \ left | {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {K _ {\ text {f} }} {K _ {\ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {U _ {\ text {f}}} {U _ {\ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {H _ {\ text {f}}} {H _ {\ text {i}}}}} = {\ frac {T _ {\ text {f}}} {T _ {\ text {i}}}} = {\ sqrt {\ frac {gT _ {\ text {f}} ^ {2}} {8H _ {\ text {i}}}}}.}$

Здесь K и U обозначают кинетическую и потенциальную энергию мяча, H - максимальная высота мяча, а T - время полета мяча. Индексы «i» и «f» относятся к начальному (до удара) и конечному (после удара) состояниям мяча. Точно так же потеря энергии при ударе может быть связана с COR:

${\ displaystyle {\ text {Energy Loss}} = {\ frac {{K _ {\ text {i}}} - {K _ {\ text {f}}}} {K _ {\ text {i}}}} \ раз 100 \% = \ влево (1-е ^ {2} \ вправо) \ раз 100 \%.}$

На COR мяча могут повлиять несколько факторов, в основном:

• характер поверхности удара (например, трава, бетон, проволочная сетка)
• материал мяча (например, кожа, резина, пластик)
• давление внутри шара (если он полый)
• количество вращения, вызванное в шаре при ударе
• скорость удара

Внешние условия, такие как температура, могут изменять свойства ударной поверхности или мяча, делая их более гибкими или более жесткими. Это, в свою очередь, повлияет на COR. В общем, мяч будет больше деформироваться при более высоких скоростях удара и, соответственно, потеряет больше своей энергии, уменьшая COR.

Вращение и угол удара

Силы, действующие на вращающийся шар во время удара, - это сила тяжести , нормальная сила и сила трения (которая, как правило, имеет как «поступательную», так и «вращательную» составляющую). Если поверхность расположена под углом, сила тяжести будет располагаться под углом к ​​поверхности, в то время как другие силы останутся перпендикулярными или параллельными поверхности.

Внешнее видео
Биомеханика ММУ (2008). «Удары гольфа - замедленное видео» . YouTube .

При ударе о землю некоторая кинетическая энергия поступательного движения может быть преобразована в кинетическую энергию вращения и наоборот, в зависимости от угла удара мяча и угловой скорости. Если при ударе мяч движется горизонтально, трение будет иметь «поступательный» компонент в направлении, противоположном движению мяча. На рисунке мяч движется вправо , и поэтому он будет иметь поступательную составляющую трения, толкающую мяч влево . Кроме того, если мяч вращается при ударе, трение будет иметь «вращательную» составляющую в направлении, противоположном вращению мяча. На рисунке мяч вращается по часовой стрелке, а точка, касающаяся земли, перемещается влево относительно центра масс мяча . Таким образом, вращательная составляющая трения толкает мяч вправо . В отличие от нормальной силы и силы тяжести, эти силы трения будут оказывать на мяч крутящий момент и изменять его угловую скорость ( ω ).

Могут возникнуть три ситуации:

1. Если мяч продвигается вперед с обратным вращением , поступательное и вращательное трение действуют в одних и тех же направлениях. Угловая скорость мяча будет уменьшена после удара, как и его горизонтальная скорость, и мяч продвигается вверх , возможно, даже превышая его первоначальную высоту. Мяч также может начать вращаться в противоположном направлении и даже отскочить назад.
2. Если мяч продвигается вперед с верхним вращением , поступательное и вращательное трение будут действовать в противоположных направлениях. Что именно происходит, зависит от того, какой из двух компонентов преобладает.
   1. Если мяч вращается намного быстрее, чем он двигался, трение вращения будет преобладать. После удара угловая скорость мяча уменьшится, но его горизонтальная скорость увеличится. Мяч будет продвигаться вперед, но не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.
   2. Если мяч движется намного быстрее, чем вращался, преобладает поступательное трение. После удара угловая скорость мяча увеличится, но его горизонтальная скорость уменьшится. Мяч не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.

Если поверхность наклонена на некоторую величину θ , вся диаграмма будет повернута на θ , но сила тяжести останется направленной вниз (образуя угол θ с поверхностью). Тогда гравитация будет иметь компонент, параллельный поверхности, который будет способствовать трению и, следовательно, вращению.

В видах спорта с ракеткой, таких как настольный теннис или ракетбол , опытные игроки будут использовать вращение (включая боковое вращение ), чтобы внезапно изменить направление мяча, когда он ударяется о поверхность, например, о землю или ракетку соперника . Точно так же в крикете существуют различные методы боулинга с вращением , при которых мяч может значительно отклоняться от поля .

Несферические шары

Силы, действующие на футбольный мяч с сеткой или мяч для регби при ударе, - это сила тяжести , нормальная сила и сила трения . Трение обычно имеет «продольный» компонент из-за скорости мяча и «кувыркающегося» вращения и «боковой» компонент из-за «осевого» вращения мяча, вызванного броском.

Отскок мяча овальной формы (например, мячей, используемых в сетке футбола или регби ) в целом гораздо менее предсказуем, чем отскок сферического мяча. В зависимости от выравнивания мяча при ударе нормальная сила может действовать впереди или позади центра масс мяча, а трение о землю будет зависеть от выравнивания мяча, а также от его вращения, вращения и скорости удара. Когда силы, действующие по отношению к центру масс мяча, изменяются, когда мяч катится по земле, и все силы могут оказывать на мяч крутящий момент , включая нормальную силу и силу тяжести. Это может привести к тому, что мяч отскочит вперед, отскочит назад или вбок. Поскольку можно преобразовать некоторую кинетическую энергию вращения в кинетическую энергию поступательного движения, возможно даже, что COR будет больше 1 или скорость движения мяча может увеличиться при ударе.

Множественные уложенные шары

Внешнее видео
Девушка-физик (2015). "Сложенный шарик" . YouTube .

Популярная демонстрация включает отскок нескольких уложенных стопкой шаров. Если теннисный мяч сложен поверх баскетбольного мяча и оба из них упадут одновременно, теннисный мяч отскочит намного выше, чем при падении сам по себе, даже превышая исходную высоту выброса. Результат удивителен, поскольку он явно нарушает закон сохранения энергии. Однако при ближайшем рассмотрении баскетбольный мяч не отскакивает так высоко, как если бы теннисный мяч не находился на нем, а передавал часть своей энергии теннисному мячу, поднимая его на большую высоту.

Обычное объяснение включает рассмотрение двух отдельных ударов: удар баскетбольного мяча об пол и затем удар баскетбольного мяча теннисным мячом. Предполагая совершенно упругие столкновения , баскетбольный мяч, ударяющийся об пол со скоростью 1 м / с, отскочит со скоростью 1 м / с. У теннисного мяча, движущегося со скоростью 1 м / с, будет относительная скорость удара 2 м / с, что означает, что он отскочит со скоростью 2 м / с относительно баскетбольного мяча или 3 м / с относительно пола и утроит его. скорость отскока по сравнению с самим ударом об пол. Это означает, что мяч отскочит на высоту, в 9 раз превышающую исходную. На самом деле, из-за неупругих столкновений теннисный мяч будет увеличивать свою скорость и высоту отскока в меньшем количестве, но все же будет отскакивать быстрее и выше, чем сам по себе.

Хотя предположения об отдельных ударах на самом деле не верны (шары остаются в тесном контакте друг с другом в течение большей части удара), эта модель, тем не менее, воспроизводит экспериментальные результаты с хорошим согласованием и часто используется для понимания более сложных явлений, таких как коллапсы из сверхновых , или гравитационных рогаток маневры .

Спортивные правила

Органы управления некоторыми видами спорта регулируют подпрыгивание мяча различными способами, прямыми и косвенными.

• AFL : Регламентирует манометрическое давление в футбол , чтобы быть между62 кПа и76 кПа .
• ФИБА : регулирует манометрическое давление таким образом, чтобы баскетбольный мяч отскакивал от 1200 мм до 1400 мм (верхняя часть мяча) при падении с высоты 1800 мм (нижняя часть мяча). Это примерно соответствует COR от 0,727 до 0,806.
• ФИФА : регулирует манометрическое давление футбольного мяча между0,6  атм и1,1 атм на уровне моря (от 61 до 111  кПа ).
• FIVB : регулирует манометрическое давление волейбольного мяча междуОт 0,30  кг _F / см ² до0,325 кг _F / см ² (от 29,4 до 31,9 кПа) для внутреннего волейбола , иОт 0,175  кг _F / см ² до0,225 кг _F / см ² (от 17,2 до 22,1 кПа) для пляжного волейбола .
• ITF : регулирует высоту отскока теннисного мяча при падении на «гладкий, жесткий и горизонтальный блок большой массы». Разные типы мячей допускаются для разных типов поверхностей. При падении с высоты 100 дюймов (254 см) отскок должен составлять 54–60 дюймов (137–152 см) для мячей типа 1, 53–58 дюймов (135–147 см) для мячей типа 2 и 3, и 48–53 дюйма (122–135 см) для высотных мячей. Это примерно соответствует COR 0,735–0,775 (мяч типа 1), 0,728–0,762 (шары типов 2 и 3) и 0,693–0,728 (шары для больших высот) при падении на испытательную поверхность.
• ITTF : регулирует игровую поверхность таким образом, что мяч для настольного тенниса отскакивает примерно на 23 см при падении с высоты 30 см. Это примерно соответствует коэффициенту COR около 0,876 относительно игровой поверхности.
• NBA : регулирует манометрическое давление баскетбольного мяча в диапазоне от 7,5 до 8,5  фунтов на квадратный дюйм (от 51,7 до 58,6 кПа).
• NFL : регулирует манометрическое давление в американском футболе в диапазоне от 12,5 до 13,5 фунтов на квадратный дюйм (от 86 до 93 кПа).
• R&A / USGA : напрямую ограничивает COR мяча для гольфа , который не должен превышать 0,83 по отношению к клюшке для гольфа .

Давление американского футбола было в центре разногласий по поводу дефлаттерии . Некоторые виды спорта не регулируют прыгающие свойства мячей напрямую, а вместо этого определяют метод конструкции. В бейсболе появление мяча на основе пробки помогло положить конец эре мертвого мяча и запустить эру живого мяча .

Смотрите также

• Прыгучий мяч
• Список игр с мячом

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бриггс, LJ (1945). «Методы измерения коэффициента восстановления и вращения мяча» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . 34 (1): 1-23. DOI : 10,6028 / jres.034.001 .
• Кросс, Р. (2011). Физика бейсбола и софтбола . Springer . ISBN 978-1-4419-8112-7.
• Кросс, Р. (июнь 2014 г.). «Физика отскока» . Сиднейский университет .
• Кросс, Р. (2015). «Поведение прыгающего мяча». Физическое образование . 50 (3): 335–341. Bibcode : 2015PhyEd..50..335C . DOI : 10.1088 / 0031-9120 / 50/3/335 .
• Стронге, WJ (2004). Механика удара . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-60289-1.
• Эрлихсон, Герман (1983). «Максимальная дальность полета снаряда с сопротивлением и подъемной силой, особенно применительно к гольфу». Американский журнал физики . 51 (4): 357–362. Bibcode : 1983AmJPh..51..357E . DOI : 10.1119 / 1.13248 . Краткое содержание - Forbes.com (29 апреля 2013 г.).