Уравнения Блоха - Bloch equations

В физике и химии, особенно в ядерном магнитном резонансе (ЯМР), магнитно-резонансной томографии (МРТ) и электронном спиновом резонансе (ЭПР), уравнения Блоха представляют собой набор макроскопических уравнений, которые используются для расчета ядерной намагниченности M = ( M _x , M _y , M _z ) как функция времени, когда присутствуют времена релаксации T ₁ и T ₂ . Это феноменологические уравнения, введенные Феликсом Блохом в 1946 году. Иногда их называют уравнениями движения ядерной намагниченности. Они аналогичны уравнениям Максвелла – Блоха .

В лабораторной (стационарной) системе отсчета

Пусть M ( t ) = ( M _x ( t ), M _y ( t ), M _z ( t )) - ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха гласят:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x} - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y} - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z} - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}$

где γ - гиромагнитное отношение, а B ( t ) = ( B _x ( t ), B _y ( t ), B ₀ + Δ B _z (t)) - магнитное поле, испытываемое ядрами. Компонент z магнитного поля B иногда состоит из двух членов:

• единица, B ₀ , постоянна во времени,
• другой, Δ B _z (t), может зависеть от времени. Он присутствует в магнитно-резонансной томографии и помогает в пространственном декодировании сигнала ЯМР.

M ( t ) × B ( t ) - это векторное произведение этих двух векторов. M ₀ - установившаяся ядерная намагниченность (например, при t → ∞); это в направлении z .

Физический фон

Без релаксации (то есть как T _{1, так} и T ₂ → ∞) приведенные выше уравнения упрощаются до:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z}}$

или в векторной записи:

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {д \ mathbf {M} (t)} {dt}} = \ gamma \ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)}$

Это уравнение для ларморовской прецессии ядерной намагниченности М во внешнем магнитном поле B .

Условия релаксации,

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {z) } -M_ {0}} {T_ {1}}} \ right)}$

представляют собой установленный физический процесс поперечной и продольной релаксации ядерной намагниченности М .

Как макроскопические уравнения

Эти уравнения не микроскопичны : они не описывают уравнения движения отдельных ядерных магнитных моментов. Они регулируются и описываются законами квантовой механики .

Уравнения Блоха макроскопичны : они описывают уравнения движения макроскопической ядерной намагниченности, которые могут быть получены путем суммирования всего ядерного магнитного момента в образце.

Альтернативные формы

Раскрытие скобок векторного произведения в уравнениях Блоха приводит к:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y) } (t) \ right) - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z) } (t) \ right) - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x) } (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}$

Приведенная выше форма дополнительно упрощена при условии, что

${\ Displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y} {\ text {and}} B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y} \,}$

где i = √ −1 . После некоторой алгебры получаем:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_) {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}$.

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M_ {xy} (t) {\ overline {B_ {xy}) (t)}} - {\ overline {M_ {xy}}} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ { 1}}}}$

где

${\ displaystyle {\ overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}$.

является комплексно сопряженным к M _xy . Действительная и мнимая части M _xy соответствуют M _x и M _y соответственно. M _xy иногда называют поперечной ядерной намагниченностью .

Матричная форма

Уравнения Блоха можно преобразовать в матрично-векторную запись:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {z} & - \ gamma B_ {y} \\ - \ gamma B_ {z } & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {x} \\\ gamma B_ {y} & - \ gamma B_ {x} & - {\ frac {1} {T_ { 1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}$

Во вращающейся системе отсчета

Во вращающейся системе координат, это легче понять поведение ядерной намагниченности М . Это мотивация:

Решение уравнений Блоха с T ₁ , T ₂ → ∞

Предположить, что:

• при t = 0 на поперечную ядерную намагниченность M _xy (0) действует постоянное магнитное поле B ( t ) = (0, 0, B ₀ );
• B ₀ положительный;
• нет продольной и поперечной релаксации (то есть T ₁ и T ₂ → ∞).

Тогда уравнения Блоха упрощаются до:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - я \ gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}$,

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}$.

Это два (не связанных) линейных дифференциальных уравнения . Их решение:

${\ Displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {0} t}}$,

${\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = {\ text {const}} \,}$.

Таким образом, поперечная намагниченность M _xy вращается вокруг оси z с угловой частотой ω ₀ = γ B ₀ по часовой стрелке (это связано с отрицательным знаком экспоненты). Продольная намагниченность M _z остается постоянной во времени. Таким же образом поперечная намагниченность представляется наблюдателю в лабораторной системе координат (то есть неподвижному наблюдателю ).

M _xy ( t ) переводится следующим образом в наблюдаемые величины M _x ( t ) и M _y ( t ): Поскольку

${\ Displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) \ left [\ cos (\ omega _ {0 } t) -i \ sin (\ omega _ {0} t) \ right]}$

тогда

${\ Displaystyle M_ {x} (t) = {\ text {Re}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = M_ {xy} (0) \ cos (\ omega _ {0} t) }$,

${\ Displaystyle M_ {y} (t) = {\ text {Im}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = - M_ {xy} (0) \ sin (\ omega _ {0} t )}$,

где Re ( z ) и Im ( z ) - функции, возвращающие действительную и мнимую части комплексного числа z . В этом расчете предполагалось, что M _xy (0) - действительное число.

Преобразование во вращающуюся систему отсчета

Это вывод из предыдущего раздела: в постоянном магнитном поле B ₀ вдоль оси z поперечная намагниченность M _xy вращается вокруг этой оси по часовой стрелке с угловой частотой ω ₀ . Если бы наблюдатель вращался вокруг той же оси по часовой стрелке с угловой частотой Ω, M _xy, ему или ему казалось бы, что он вращается с угловой частотой ω ₀ - Ω. В частности, если бы наблюдатель вращался вокруг той же оси по часовой стрелке с угловой частотой ω ₀ , поперечная намагниченность M _xy казалась бы ему или ему неподвижной.

Математически это можно выразить следующим образом:

• Пусть ( x , y , z ) декартова система координат лабораторной (или стационарной ) системы отсчета , и
• ( x ′, y ′, z ′) = ( x ′, y ′, z ) - декартова система координат, которая вращается вокруг оси z лабораторной системы отсчета с угловой частотой Ω. Это называется вращающейся системой отсчета . Физические переменные в этой системе отсчета будут обозначены штрихом.

Очевидно:

${\ Displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) \,}$.

Что такое M _xy ′ ( t )? Выражая аргумент в начале этого раздела математическим способом:

${\ Displaystyle М_ {ху} '(т) = е ^ {+ я \ Омега т} М_ {ху} (т) \,}$.

Уравнение движения поперечной намагниченности во вращающейся системе отсчета

Какое уравнение движения M _xy ′ ( t )?

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = {\ frac {d \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right)} { dt}} = e ^ {+ i \ Omega t} {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} + i \ Omega e ^ {+ i \ Omega t} M_ {xy} (t) = e ^ {+ i \ Omega t} {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} + i \ Omega M_ {xy} '(t)}$

Подставим из уравнения Блоха в лабораторную систему отсчета:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = e ^ {+ i \ Omega t} \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy } (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} \ right] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} B_ {z} (t ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t}} {T_ {2}}} \ right] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) \ right) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} \\\ конец {выровнен}}}$

Но по предположению из предыдущего раздела: B _z ′ ( t ) = B _z ( t ) = B ₀ + Δ B _z ( t ) и M _z ( t ) = M _z ′ ( t ). Подставляя в уравнение выше:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + \ Дельта B_ {z} (t)) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) \ right) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} \\ & = - i \ gamma B_ {0} M_ {xy}' (t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy} ' (t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z}' (t) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} { T_ {2}}} \\ & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t ) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} \\\ конец {выровнено}} }$

В этом смысл терминов в правой части этого уравнения:

• i (Ω - ω ₀ ) M _xy ′ ( t ) - ларморовский член в системе отсчета, вращающейся с угловой частотой Ω. Обратите внимание, что он обращается в ноль, когда Ω = ω ₀ .
• Член - i γ Δ B _z ( t ) M _xy '( t ) описывает влияние неоднородности магнитного поля (выраженное посредством Δ B _z ( t )) на поперечную ядерную намагниченность; он используется для объяснения T ₂ ^* . Это также термин, который стоит за МРТ : он создается системой градиентной катушки.
• Я γ Б _х '( т ) М _г ( т ) описывает эффект РЧ поля (в B _х ' ( т ) фактор) по ядерной намагниченности. См. Пример ниже.
• - M _xy ′ ( t ) / T ₂ описывает потерю когерентности поперечной намагниченности.

Точно так же уравнение движения M _z во вращающейся системе отсчета:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} '(t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M' _ {xy} (t) {\ overline {B '_ {xy} (t)}} - {\ overline {M' _ {xy}}} (t) B '_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} -M_ { 0}} {T_ {1}}}}$

Независимая от времени форма уравнений во вращающейся системе отсчета

Когда внешнее поле имеет вид:

${\ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} \ cos \ omega t}$

${\ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} \ sin \ omega t}$

${\ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}$,

Мы определяем:

${\ displaystyle \ epsilon = \ gamma B_ {1}}$и: ,${\ displaystyle \ Delta = \ gamma B_ {0} - \ omega}$

и получаем (в матрично-векторной записи):

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ begin {array} {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end { массив}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ Delta & 0 \\ - \ Delta & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ epsilon \\ 0 & - \ epsilon & - {\ frac {1} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} { c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}$

Простые решения

Релаксация поперечной ядерной намагниченности M _xy

Предположить, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в направлении z B _z ′ ( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• RF нет, то есть B _xy '= 0.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения для поперечной ядерной намагниченности M _xy '( t ) упрощается до:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {xy}'} {T_ {2}}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого

${\ Displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}$.

где M _xy '(0) - поперечная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени t = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что когда вращающаяся система отсчета вращается точно с ларморовской частотой (это физический смысл сделанного выше предположения Ω = ω ₀ ), вектор поперечной ядерной намагниченности M _xy ( t ) оказывается стационарным.

Релаксация продольной ядерной намагниченности M _z

Предположить, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в направлении z B _z ′ ( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• RF нет, то есть B _xy '= 0.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения для продольной ядерной намагниченности M _z ( t ) упрощается до:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {z, \ mathrm {eq}}} {T_ {1}} }}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого

${\ Displaystyle M_ {z} (t) = M_ {z, \ mathrm {eq}} - [M_ {z, \ mathrm {eq}} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ { 1}}}$

где M _z (0) - продольная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени t = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

ВЧ-импульсы 90 и 180 °

Предположить, что:

• Ядерное намагничивание подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в направлении z B _z ′ ( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• При t = 0 применяется РЧ-импульс постоянной амплитуды и частоты ω ₀ . То есть B ' _xy ( t ) = B' _xy постоянно. Длительность этого импульса τ.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .
• T ₁ и T ₂ → ∞. Практически это означает, что τ ≪ T ₁ и T ₂ .

Тогда при 0 ≤ t ≤ τ:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i \ gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) \ end {выравнивается}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy}}} - {\ overline {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} \ right)}$

Смотрите также

• Уравнение Блоха – Торри является обобщением уравнений Блоха, которое включает дополнительные члены из-за переноса намагниченности за счет диффузии.

Ссылки

дальнейшее чтение

• Чарльз Киттель , Введение в физику твердого тела , John Wiley & Sons, 8-е издание (2004 г.), ISBN  978-0-471-41526-8 . Глава 13 посвящена магнитному резонансу.