Проблема идентификации Бенацеррафа - Benacerraf's identification problem
В философии математики , задача идентификации Бенацеррафа является философским аргументом , разработанный Пол Бенасеррафом против теоретико-множественного платонизма и опубликовано в 1965 году в статье под названием «Что Числа не могут быть». Исторически эта работа стала важным катализатором развития математического структурализма .
Проблема идентификации утверждает, что существует фундаментальная проблема сведения натуральных чисел к чистым множествам . Поскольку существует бесконечное количество способов отождествления натуральных чисел с чистыми множествами, никакой конкретный теоретико-множественный метод не может быть определен как «истинное» сокращение. Бенасерраф делает вывод, что любая попытка сделать такой выбор редукции немедленно приводит к порождению метауровневой теоретико-множественной лжи, а именно по отношению к другим элементарно эквивалентным теориям множеств, не идентичным выбранной. Проблема идентификации утверждает, что это создает фундаментальную проблему для платонизма, который утверждает, что математические объекты имеют реальное, абстрактное существование. Дилемма Бенацеррафа платонической теории множеств заключается в том, что попытка Платона идентифицировать «истинное» сведение натуральных чисел к чистым множествам как раскрытие внутренних свойств этих абстрактных математических объектов невозможна. В результате проблема идентификации в конечном итоге утверждает, что отношение теории множеств к натуральным числам не может иметь онтологически платоническую природу.
Исторические мотивы
Историческая мотивация развития проблемы идентификации Бенасеррафа проистекает из фундаментальной проблемы онтологии. Со времен средневековья философы спорят о том, содержит ли онтология математики абстрактные объекты . В философии математики абстрактный объект традиционно определяется как сущность, которая: (1) существует независимо от разума; (2) существует независимо от эмпирического мира; и (3) обладает вечными неизменными свойствами. Традиционный математический платонизм утверждает, что некоторый набор математических элементов - натуральные числа , действительные числа , функции , отношения , системы - являются такими абстрактными объектами. Напротив, математический номинализм отрицает существование любых таких абстрактных объектов в онтологии математики.
В конце 19-го - начале 20-го века популярность приобрел ряд антиплатонических программ. К ним относятся интуиционизм , формализм и предикативизм . Однако к середине 20 века эти антиплатонические теории имели ряд собственных проблем. Впоследствии это привело к возрождению интереса к платонизму. Именно в этом историческом контексте возникли мотивы проблемы идентификации.
Описание
Проблема идентификации начинается с доказательства некоторого набора элементарно эквивалентных теоретико-множественных моделей натуральных чисел. Бенасерраф рассматривает два таких теоретико-множественных метода:
- Теоретико-множественный метод I (с использованием ординалов Цермело )
- 0 = ∅
- 1 = {0} = {∅}
- 2 = {1} = {{∅}}
- 3 = {2} = {{{∅}}}
- ...
- Теоретико-множественный метод II (с использованием ординалов фон Неймана )
- 0 = ∅
- 1 = {0} = {∅}
- 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
- 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
- ...
Как показывает Бенасерраф, оба метода сводят натуральные числа к множествам. Бенасерраф формулирует дилемму как вопрос: какой из этих теоретико-множественных методов однозначно обеспечивает истинные утверждения тождества, которые проливают свет на истинную онтологическую природу натуральных чисел? Для определения натуральных чисел и последующего создания истинных арифметических утверждений для формирования математической системы можно использовать любой метод I или II. В своем отношении элементы таких математических систем изоморфны по своей структуре. Однако проблема возникает, когда эти изоморфные структуры связаны между собой на мета-уровне. Определения и арифметические утверждения из системы I не идентичны определениям и арифметическим утверждениям из системы II. Например, две системы различаются по своему ответу на вопрос, является ли 0 ∈ 2, поскольку ∅ не является элементом {{∅}}. Таким образом, с точки зрения отсутствия транзитивности идентичности , поиск истинных утверждений идентичности также терпит неудачу. Пытаясь свести натуральные числа к множествам, это делает теоретико-множественную ложь между изоморфными структурами различных математических систем. В этом суть проблемы идентификации.
Согласно Бенацеррафу, философские разветвления этой проблемы идентификации приводят к тому, что платоновские подходы не проходят онтологический тест. Аргумент используется, чтобы продемонстрировать невозможность для платонизма свести числа к множествам и выявить существование абстрактных объектов.
Смотрите также
Рекомендации
Библиография
- Бенасерраф, Пол (1973) «Математическая истина», в Benacerraf & Putnam Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 2-е издание. 1983, с. 403–420.
- Хейл, Боб (1987) Абстрактные объекты . Оксфорд: Бэзил Блэквелл. ISBN 0631145931