Атом (теория порядка) - Atom (order theory)

В математической области теории порядка , элемент из частично упорядоченного множества с наименьшим элементом 0 не является атомом , если 0 < и нет х , таких , что 0 < х < .

Эквивалентно, можно определить атом как элемент, который является минимальным среди ненулевых элементов, или, альтернативно, элемент, который покрывает наименьший элемент 0 .

Атомарные порядки

Фиг.2. : Решетки делителей 4, с упорядочением « является делителем из », атомная, с 2 является единственным атомом и coatom. Это не атомистично, поскольку 4 не может быть получено как наименьшее общее кратное атомов.
Рис.1. : Мощности набор из множества { х , у , г } с упорядочением « является подмножеством из » является атомистическим частично упорядоченным множеством: каждый набор элементов может быть получен как объединения всех одноэлементных множеств под ним.

Обозначим <: отношение покрытия в частично упорядоченном множестве.

Частично упорядоченное множество с наименьшим элементом 0 является атомарный , если каждый элемент Ь  >  0 имеет атом А под ним, то есть, есть некоторые таким образом, что б  ≥   :>  0 . Каждый конечный частично упорядоченный набор с 0 является атомарным, но набор неотрицательных действительных чисел (упорядоченных обычным образом) не является атомарным (и фактически не имеет атомов).

Частично упорядоченное множество относительно атомарно (или сильно атомарно ), если для всех a  <  b существует такой элемент c , что a  <:  c  ≤  b, или, что то же самое, если каждый интервал [ a ,  b ] атомарен. Каждый относительно атомарный частично упорядоченный набор с наименьшим элементом является атомарным. Каждый конечный ч.у. относительно атомарен.

Частично упорядоченный набор с наименьшим элементом 0 называется атомистическим (не путать с атомарным ), если каждый элемент является наименьшей верхней границей набора атомов. Линейный порядок с тремя элементами не является атомистическим (см. Рис. 2).

Атомы в частично упорядоченных множествах являются абстрактными обобщениями синглетонов в теории множеств (см. Рис. 1). Атомарность (свойство быть атомарным) обеспечивает абстрактное обобщение в контексте теории порядка способности выбирать элемент из непустого набора.

Coatoms

Термины коатом , коатомик и коатомизм имеют двойное определение. Таким образом, в частично упорядоченном множестве с наибольшим элементом 1 говорят, что

  • coatom является элемент покрыт 1 ,
  • набор является коатомным, если каждый b  <  1 имеет коатом c над ним, и
  • набор является коатомистическим, если каждый элемент является точной нижней границей набора коатомов.

использованная литература

  • Дэйви, BA; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1

внешние ссылки