Асимметричное отношение - Asymmetric relation

Транзитивные  бинарные отношения
Симметричный Антисимметричный Связаны Обоснованный Присоединяется Встречается Рефлексивный Нерефлексивный Асимметричный Также известный как: Итого, Semiconnex Антирефлексивный Отношение эквивалентности Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Предзаказ (Квазипорядок) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Частичный заказ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Всего предзаказ ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Общий заказ ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Предварительный заказ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Хорошо-квазиупорядоченный ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Хороший порядок ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Решетка ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Соединение-полурешетка ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Встреча-полурешетка ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Строгий частичный заказ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Строгий слабый порядок ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Строгий общий порядок ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Симметричный Антисимметричный Связаны Обоснованный Присоединяется Встречается Рефлексивный Нерефлексивный Асимметричный Определения: ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Для всех}} \, a, b \, {\ text {and}} \, S \ neq \ varnothing:}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow bRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \, {\ text {and}} \, bRa \ Rightarrow a = b}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ Rightarrow aRb \, {\ text {или}} \, bRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ text {exists}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ vee b \, {\ text {exists}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ wedge b \, {\ text {exists}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {not}} \, aRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {not}} \, bRa}}$
Все определения неявно требуют, чтобы однородное отношение было транзитивным : " " указывает, что свойство столбца требуется по определению термина строки (в самом левом углу). Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным. Упомянутые здесь дополнительные свойства , что однородное отношение может удовлетворять. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Для всех}} \, a, b, c, {\ text {if}} aRb {\ text {and}} bRc {\ text {then}} aRc}.}$ Y

В математике , асимметричное соотношение является бинарное отношение на множестве , где для всех , если связано , то это не связано с${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a, b \ in X,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a.}$

Формальное определение

Бинарное отношение на любое подмножество из заданной записи , если и только если это означает , что это сокращение для Выражение читается как « связан с помощью » Бинарное отношение называется асимметричным , если для всех , если это так , то ложно; то есть, если тогда Это можно записать в обозначениях логики первого порядка как ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X \ times X.}$${\ displaystyle a, b \ in X,}$${\ displaystyle aRb}$${\ displaystyle (a, b) \ in R,}$${\ displaystyle aRb}$${\ displaystyle (a, b) \ in R.}$${\ displaystyle aRb}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a, b \ in X,}$${\ displaystyle aRb}$${\ displaystyle bRa}$${\ displaystyle (a, b) \ in R}$${\ displaystyle (b, a) \ not \ in R.}$

$${\ displaystyle \ forall a, b \ in X: aRb \ подразумевает \ lnot (bRa).}$$

Логически эквивалентно определение:

для всех хотя бы одно из и является ложным ,${\ displaystyle a, b \ in X,}$${\ displaystyle aRb}$${\ displaystyle bRa}$

что в логике первого порядка можно записать как:

$${\ displaystyle \ forall a, b \ in X: \ lnot (aRb \ wedge bRa).}$$

Пример асимметричного отношения является « меньше чем » соотношение между действительными числами : если то обязательно не меньше , чем The «меньше или равно» отношения , с другой стороны, не является асимметричным, поскольку задним ходом, например, производит и оба правда. Асимметрия - это не то же самое, что « несимметричный »: отношение «меньше или равно» является примером отношения, которое не является ни симметричным, ни асимметричным. Пустое отношение единственное отношение , которое является ( бессодержательно ) и симметричным и асимметричным. ${\ Displaystyle \, <\,}$${\ Displaystyle х <у}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x.}$${\ Displaystyle \, \ leq,}$${\ Displaystyle х \ Leq х}$${\ Displaystyle х \ Leq х}$

Характеристики

• Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно .
• Ограничения и преобразования асимметричных отношений также асимметричны. Например, ограничение от чисел до целых чисел по - прежнему асимметрично, а обратный из также асимметричные.${\ Displaystyle \, <\,}$${\ Displaystyle \,> \,}$${\ Displaystyle \, <\,}$
• Транзитивное отношение является асимметричным , если и только если оно иррефлексивно: если и транзитивность дает противоречащие irreflexivity.${\ displaystyle aRb}$${\ displaystyle bRa,}$${\ displaystyle aRa,}$
• Как следствие, отношение транзитивно и асимметрично тогда и только тогда, когда оно является строгим частичным порядком .
• Не все асимметричные отношения являются строгими частичными порядками. Примером асимметричного нетранзитивного , даже антитранзитивного отношения является отношение камень-ножницы, бумага : если бьет, то не бьет, а если бьет и бьет, то не бьет.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle X;}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z.}$
• Асимметричное отношение не обязательно должно иметь свойство Connex . Например, строгое подмножество отношение является асимметричным, и ни один из наборов , и является строгим подмножеством других. Отношение является связным тогда и только тогда, когда его дополнение асимметрично.${\ Displaystyle \, \ subsetneq \,}$${\ displaystyle \ {1,2 \}}$${\ displaystyle \ {3,4 \}}$

Смотрите также

• Аксиоматизация действительных чисел Тарским - отчасти это требование асимметричности вещественных чисел.${\ Displaystyle \, <\,}$

использованная литература