Угловой блок - Angular unit
На протяжении всей истории, углы были измерены в разных единицах . Они известны как угловые единицы , причем самыми современными единицами измерения являются градус (°), радиан (рад) и градиан (град), хотя многие другие единицы использовались на протяжении всей истории . Цель этой страницы - собрать воедино другие концепции, относящиеся к угловой единице , где могут быть предоставлены дополнительные объяснения.
Измерение углов в целом
Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего поворота, который переводит один из лучей в другой. Углы, имеющие одинаковый размер, называются равными , конгруэнтными или равными по размеру .
В некоторых контекстах, таких как определение точки на окружности или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно исходной ориентации, углы, которые отличаются точным кратным полному обороту , фактически эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно опорной ориентации, углы, которые отличаются на ненулевое кратное полному обороту, не эквивалентны.
Чтобы измерить угол θ , рисуется дуга окружности с центром в вершине угла (например, с помощью циркуля ). Отношение длины s дуги к радиусу r окружности является мерой угла в радианах .
Затем значение угла в другой угловой единице получается путем умножения его измерения в радианах на коэффициент масштабирования. k/2 π, где k - мера полного поворота в выбранной единице (например, 360 для градусов или 400 для градиентов ):
Значение θ, определенное таким образом, не зависит от размера круга: если длина радиуса изменяется, то длина дуги изменяется в той же пропорции, поэтому отношение s / r не изменяется. (Доказательство. Формулу выше можно переписать в виде k =θr/s. Один оборот, для которого θ = n единиц, соответствует дуге, равной длине окружности окружности , которая равна 2 πr , поэтому s = 2 πr . Подставляя п для & thetas и 2 πr для й в формуле, приводит к =номер/2 πr знак равно п/2 π.)
В частности, мера угла в радианах также может интерпретироваться как длина дуги соответствующей единичной окружности:
Постулат сложения углов
Постулат сложения углов гласит, что если B находится внутри угла AOC, то
Угол AOC представляет собой сумму угла AOB и угла BOC. В этом постулате не имеет значения, в каких единицах измеряется угол - до тех пор, пока каждый угол измеряется в одной и той же единице.
Единицы измерения
Один радиан - это угол, образованный дугой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Радиан - это производная величина углового измерения в системе СИ . По определению он безразмерный , хотя во избежание двусмысленности его можно указать как rad . Углы, измеренные в градусах , обозначаются символом °. Градус делится на минуты (символ ', 1' = 1/60 °) и секунды {символ ″, 1 ″ = 1/3600 °}. Угол в 360 ° соответствует углу, образуемому полной окружностью, и равен 2 π радианам или 400 градусам.
Другие единицы измерения углов перечислены в следующей таблице. Эти единицы определены таким образом, что количество оборотов эквивалентно полному кругу.
| название | номер за один оборот | угол поворота | описание |
|---|---|---|---|
| Повернуть | 1 | 360 ° | Очередь , также цикл , полный круг , оборот и вращение , это полное круговое движение или меры (как для возврата к той же точке) с кругом или эллипсом. Оборот обозначается сокращенно τ , cyc , rev или rot в зависимости от приложения. Символ τ также может использоваться как математическая константа для представления 2 π радиан. |
| Кратные π | 2 | 180 ° | В научном калькуляторе РПН WP 43S реализована функция, кратная π (MUL π ) . См. Также: Рекомендуемые операции IEEE 754 |
| Квадрант | 4 | 90 ° | Один квадрант также известен как прямой угол . Квадрант - это единица, используемая в Элементах Евклида . В немецком языке символ ∟ использовался для обозначения квадранта. |
| Секстант | 6 | 60 ° | Секстантная была единица , используемая по вавилонянам , степени, минута дуги и вторая дуги являются шестидесятеричными субъединицами вавилонского блока. Особенно легко строить с помощью линейки и циркуля. |
| Радиан | 2 π | 57 ° 17 ' | Радиан определяется окружностью, равные по длине радиусу окружности. |
| Гексаконтада | 60 | 6 ° | Hexacontade является единицей , используемой Эратосфеном . |
| Бинарная степень | 256 | 1 ° 33'45 " | Двоичная степень , также известная как двоичный радиан (или Brad ). Двоичная степень используется в вычислениях, так что угол может быть эффективно представлен в одном байте (хотя и с ограниченной точностью). Другие меры угла, используемые в вычислениях, могут быть основаны на делении одного целого поворота на 2 n равных частей для других значений n .
|
| Степень | 360 | 1 ° | Одно из преимуществ этой старой шестидесятеричной единицы состоит в том, что многие углы, общие для простой геометрии, измеряются целым числом градусов. Доли градуса могут быть записаны в обычной десятичной системе счисления (например, 3,5 ° для трех с половиной градусов), но также используются шестидесятеричные субъединицы «минута» и «секунда» системы «градус-минута-секунда», особенно по географическим координатам и по астрономии и баллистике |
| Град | 400 | 0 ° 54 ' | Град , называемый также класс , gradian или угольник . прямой угол - 100 градусов. Это десятичная единица квадранта. Км исторически определяется как Centi -grad дуги вдоль меридиана Земли, поэтому километра является десятичным аналогом шестидесятеричной морских миль . Град используется в основном в триангуляции . |
| Угловая минута | 21 600 | 0 ° 1 ′ | Угловая минута (или МОА , угловая минута или просто минута ) равна1/60степени. Морских миль исторически определяется как минуты дуги вдоль большого круга Земли. |
| Секунда дуги | 1 296 000 | 0 ° 0′1 ″ | Второй дуги (или угловой секунды , или просто второй ) является1/60 угловой минуты и 1/3600 степени. |
Эквивалентные дескрипторы времени
В астрономии , прямое восхождение и склонение обычно измеряется в угловых единицах, выраженные в терминах времени, основанные на 24-часовой день.
| Ед. изм | Символ | Степень | Радианы | Круг | Другой |
|---|---|---|---|---|---|
| Час | час | 15 ° | π ⁄ 12 | 1 ⁄ 24 | |
| Минуты | м | 0 ° 15 ' | π ⁄ 720 | 1 ⁄ 1,440 | 1 ⁄ 60 часа |
| Второй | s | 0 ° 0'15 " | π ⁄ 43200 | 1 ⁄ 86 400 | 1 ⁄ 60 минут |
Другие дескрипторы
- Тау , количество радианов за один оборот (1 оборот = τ рад), τ = 2 π .
- Чи, старое китайское измерение угла.
- Часть диаметра ( n = 376,99 ...): Часть диаметра (иногда используется в исламской математике)1/60радиан. Одна «часть диаметра» составляет приблизительно 0,95493 °. На оборот приходится около 376,991 деталей диаметром.
- Миллирадиан и производные определения: Истинный миллирадиан определяется одной тысячной радиана, что означает, что поворот на один оборот будет равен точно 2000π мил (или приблизительно 6283,185 мил), и почти все прицелы для огнестрельного оружия откалиброваны по этому определению. Вдобавок есть три других производных определения, используемых для артиллерии и навигации, которые приблизительно равны миллирадиану. В соответствии с этими тремя другими определениями один оборот составляет ровно 6000, 6300 или 6400 мил, что соответствует диапазону от 0,05625 до 0,06 градусов (от 3,375 до 3,6 минут). Для сравнения, истинный миллирадиан составляет приблизительно 0,05729578 градуса (3,43775 минуты). Один « миллион НАТО » определяется как1/6400круга. Как и в случае с истинным миллирадианом, каждое из других определений использует полезное свойство миллирадиана субтензий, то есть то, что значение одного миллирадиана приблизительно равно углу, образуемому шириной в 1 метр, если смотреть с расстояния 1 км (2 π/6400 = 0,0009817… ≈ 1/1000).
- Ахнам и зам. В старой Аравии поворот подразделялся на 32 акнама, а каждый ахнам - на 7 зам, так что оборот составляет 224 зам.
Положительные и отрицательные углы
Хотя определение измерения угла не поддерживает концепцию отрицательного угла, часто бывает полезно ввести соглашение, которое позволяет положительным и отрицательным угловым значениям представлять ориентацию и повороты в противоположных направлениях относительно некоторой ссылки.
В двумерной декартовой системе координат угол обычно определяется двумя его сторонами с вершиной в начале координат. Исходная сторона находится на положительной оси х , а с другой стороны (то есть, на стороне терминала ) определяется мерой от исходной стороны в радианах, градусах, или поворотов. Обычно положительные углы представляют собой повороты к положительной оси Y , а отрицательные углы представляют повороты к отрицательной оси y. Когда декартовы координаты представлены стандартным положением , определяемым осью x вправо и осью y вверх, положительные вращения - против часовой стрелки , а отрицательные - по часовой стрелке .
Во многих случаях угол - θ фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус θ ». Например, ориентация, представленная как -45 °, фактически эквивалентна ориентации, представленной как 360 ° - 45 ° или 315 °. Однако поворот на -45 ° не будет таким же, как поворот на 315 °.
В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно быть определено относительно некоторой ссылки, которая обычно является вектором, проходящим через вершину угла и перпендикулярным к плоскость, в которой лежат лучи угла.
В навигации , подшипники измеряются по отношению к северу. Условно, если смотреть сверху, угол пеленга положительный по часовой стрелке, поэтому пеленг 45 ° соответствует ориентации на северо-восток. Отрицательные пеленги не используются в навигации, поэтому ориентация на северо-запад соответствует пеленгу 315 °.
Альтернативные способы измерения размера угла
Существует несколько альтернатив измерению размера угла соответствующим углом поворота. Сорт склона , или градиента , равен тангенсу угла, или иногда (редко) на синусе . Градиенты часто выражаются в процентах. Для очень малых значений (менее 5%) крутизна уклона приблизительно равна величине угла в радианах.
В рациональной геометрии , то разброс между двумя линиями определяются на площади синуса угла между линиями. Поскольку синус угла и синус его дополнительного угла одинаковы, любой угол поворота, который отображает одну из линий в другую, приводит к тому же значению разброса между линиями.
Астрономические приближения
Астрономы измеряют угловое расстояние между объектами в градусах от точки наблюдения.
- 0,5 ° - это примерно ширина солнца или луны.
- 1 ° - это примерно ширина мизинца на расстоянии вытянутой руки.
- 10 ° - это примерно ширина сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
- 20 ° - это примерно ширина размаха рук на расстоянии вытянутой руки.
Эти измерения явно зависят от индивидуального объекта, и вышеизложенное следует рассматривать только как приблизительное практическое правило .
Измерения, не являющиеся угловыми единицами
Не все угловые измерения являются угловыми единицами, для угловых измерений определенно соблюдается постулат сложения углов .
Некоторые измерения углов, для которых постулат сложения углов не выполняется, включают: