Аналитическая геометрия - Analytic geometry
Геометрия |
---|
Геометры |
В классической математике аналитическая геометрия , также известная как координатная геометрия или декартова геометрия , представляет собой изучение геометрии с использованием системы координат . Это контрастирует с синтетической геометрией .
Аналитическая геометрия используется в физике и технике , а также в авиации , ракетостроении , космической науке и космических полетах . Это основа большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую , дифференциальную , дискретную и вычислительную геометрию .
Обычно декартова система координат применяется для управления уравнениями для плоскостей , прямых и окружностей , часто в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучаются евклидова плоскость ( два измерения ) и евклидово пространство ( три измерения ). Как преподается в школьных учебниках, аналитическая геометрия может быть объяснена более просто: она связана с определением и представлением геометрических фигур числовым способом и извлечением числовой информации из числовых определений и представлений форм. То, что алгебра действительных чисел может использоваться для получения результатов о линейном континууме геометрии, основывается на аксиоме Кантора – Дедекинда .
История
Древняя Греция
Греческий математик Менехм решал задачи и доказаны теоремы, используя метод , который имел сильное сходство с использованием координат и иногда утверждали , что он представил аналитическую геометрию.
Аполлоний Пергский в разделе «О детерминированности» рассматривал проблемы в манере, которую можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении точек на линии, которые были в соотношении с другими. Аполлоний в « Кониках» развил метод, который настолько похож на аналитическую геометрию, что иногда думают, что его работа опередила работу Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между ними. ось и кривая - ординаты. Он далее развил отношения между абсциссами и соответствующими ординатами, которые эквивалентны риторическим уравнениям кривых. Однако, хотя Аполлоний был близок к развитию аналитической геометрии, ему не удалось этого сделать, поскольку он не принимал во внимание отрицательные величины, и в каждом случае система координат накладывалась на заданную кривую апостериори, а не априори . То есть уравнения определялись кривыми, а кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической ситуации.
Персия
Персидский математик XI века Омар Хайям увидел сильную взаимосвязь между геометрией и алгеброй и двигался в правильном направлении, когда помог сократить разрыв между числовой и геометрической алгеброй своим геометрическим решением общих кубических уравнений , но решающий шаг был сделан позже. с Декартом. Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии , а его книга « Трактат о демонстрациях проблем алгебры» (1070 г.), в которой изложены принципы аналитической геометрии, является частью персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европу. Из-за его тщательного геометрического подхода к алгебраическим уравнениям Хайяма можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии.
западная Европа
Часть серии по |
Рене Декарт |
---|
Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом и Пьером де Ферма , хотя Декарту иногда уделяют особое внимание. Декартова геометрия , альтернативный термин, используемый для аналитической геометрии, названа в честь Декарта.
Декарт добился значительного прогресса в использовании методов в эссе под названием La Geometrie (Геометрия) , одном из трех сопутствующих эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его « Рассуждениями о методе правильного направления своего разума и поисками истины в науках» , обычно называется « Беседа о методе» . «Геометрия» , написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы послужили основой для исчисления в Европе. Первоначально работа не была хорошо принята, отчасти из-за множества пробелов в аргументах и сложных уравнений. Лишь после перевода на латынь и добавления комментария ван Скутена в 1649 году (и дальнейшей работы после этого) шедевр Декарта получил должное признание.
Пьер де Ферма также был пионером в развитии аналитической геометрии. Хотя это и не опубликовали в своей жизни, рукопись форма объявления Планоса и др локомотивы solidos Исагогики (Введение в плоскость и твердые локусы) циркулировали в Париже в 1637 году, незадолго до публикации Декарта дискурса . Четко написанное и хорошо принятое Введение также заложило основу для аналитической геометрии. Ключевое различие между трактовками Ферма и Декарта заключается во взглядах: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых. . Вследствие этого подхода Декарту пришлось иметь дело с более сложными уравнениями, и ему пришлось разработать методы для работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Именно Леонард Эйлер первым применил метод координат для систематического изучения пространственных кривых и поверхностей.
Координаты
В аналитической геометрии плоскости задается система координат, в которой каждая точка имеет пару вещественных координат. Точно так же в евклидовом пространстве заданы координаты, где каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки отсчета. Используется множество систем координат, но наиболее распространенными являются следующие:
Декартовы координаты (на плоскости или в пространстве)
Наиболее распространенной системой координат для использования является декартова система координат , где каждая точка имеет координату x, представляющую ее горизонтальное положение, и координату y, представляющую ее положение по вертикали. Обычно они записываются как упорядоченная пара ( x , y ). Эта система также может использоваться для трехмерной геометрии, где каждая точка в евклидовом пространстве представлена упорядоченной тройкой координат ( x , y , z ).
Полярные координаты (на плоскости)
В полярных координатах каждая точка плоскости представлена ее расстоянием r от начала координат и углом θ , при этом θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x . Используя это обозначение, точки обычно записываются как упорядоченная пара ( r , θ ). Можно преобразовать назад и вперед между двухмерным декартовым и полярными координатами с помощью этих формул: . Эта система может быть обобщена на трехмерное пространство за счет использования цилиндрических или сферических координат.
Цилиндрические координаты (в пространстве)
В цилиндрических координатах каждая точка пространства представлена ее высотой z , ее радиусом r относительно оси z и углом θ, который ее проекция на плоскость xy составляет относительно горизонтальной оси.
Сферические координаты (в пространстве)
В сферических координатах каждая точка в пространстве представлена ее расстоянием ρ от начала координат, углом θ, который ее проекция на плоскость xy составляет относительно горизонтальной оси, и углом φ, который она составляет относительно оси z. . Названия углов в физике часто меняют местами.
Уравнения и кривые
В аналитической геометрии любое уравнение, включающее координаты, задает подмножество плоскости, а именно набор решений для уравнения или геометрическое место . Например, уравнение y = x соответствует множеству всех точек на плоскости, у которых координата x и координата y равны. Эти точки образуют линию , и y = x называется уравнением для этой линии. Как правило, линейные уравнения, включающие x и y, определяют линии, квадратные уравнения определяют конические сечения , а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры.
Обычно кривой на плоскости соответствует одно уравнение . Это не всегда так: тривиальное уравнение x = x задает всю плоскость, а уравнение x 2 + y 2 = 0 задает только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривая должна быть указана как пересечение двух поверхностей (см. Ниже) или как система параметрических уравнений . Уравнение x 2 + y 2 = r 2 - это уравнение для любой окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.
Линии и плоскости
Линии в декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах могут быть описаны алгебраически с помощью линейных уравнений. В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме пересечения наклона :
куда:
- m - наклон или уклон линии.
- b - точка пересечения линии по оси y .
- x - независимая переменная функции y = f ( x ).
Аналогично тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с помощью точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней ( вектор нормали ), чтобы указать его "наклон".
В частности, пусть будет вектором положения некоторой точки , и пусть будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из таких точек с вектором положения , при которых вектор, проведенный от до , перпендикулярен . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как множество всех точек, таких что
(Точка здесь означает скалярное произведение , а не скалярное умножение.) В развернутом виде это становится
что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. Это просто линейное уравнение :
И наоборот, легко показать, что если a , b , c и d - константы, а a , b и c не все равны нулю, то график уравнения
плоскость, имеющая вектор в качестве нормали. Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости.
В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому они часто описываются параметрическими уравнениями :
куда:
- x , y и z - все функции независимой переменной t, которая принимает значения действительных чисел.
- ( x 0 , y 0 , z 0 ) - любая точка на прямой.
- a , b и c связаны с наклоном прямой, так что вектор ( a , b , c ) параллелен прямой.
Конические секции
В декартовой системе координат , то граф из квадратного уравнения с двумя переменными всегда коническим сечением - хотя это может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид
Поскольку масштабирование всех шести констант дает одно и то же геометрическое место нулей, можно рассматривать коники как точки в пятимерном проективном пространстве.
Конические участки, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта
Если коника невырожденная, то:
- если , уравнение представляет собой эллипс ;
- если и , уравнение представляет собой
- если есть , уравнение представляет собой
Квадрические поверхности
Квадрика , или поверхность второго порядка , является 2 - мерной поверхностью в 3-мерном пространстве , определенном как локус из нулей одного квадратного многочлена . В координатах x 1 , x 2 , x 3 общая квадрика определяется алгебраическим уравнением
Квадрические поверхности включают эллипсоиды (включая сферу ), параболоиды , гиперболоиды , цилиндры , конусы и плоскости .
Расстояние и угол
В аналитической геометрии геометрические понятия, такие как расстояние и мера угла , определяются с помощью формул . Эти определения предназначены для согласования с лежащей в основе евклидовой геометрией . Например, используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) определяется формулой
что можно рассматривать как версию теоремы Пифагора . Точно так же угол, который линия образует с горизонталью, можно определить по формуле
где m - наклон прямой.
В трех измерениях расстояние определяется обобщением теоремы Пифагора:
- ,
в то время как угол между двумя векторами определяется скалярным произведением . Скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется формулой
где θ представляет собой угол между A и B .
Трансформации
Преобразования применяются к родительской функции, чтобы превратить ее в новую функцию с аналогичными характеристиками.
График изменен стандартными преобразованиями следующим образом:
- Изменение к перемещает график до нужных блоков.
- Изменение к перемещает график вверх единиц.
- Изменение в растягивает графика по горизонтали на коэффициент . (думайте о расширении)
- Изменение в растягивает графика по вертикали.
- Изменение на и изменение на вращает график на угол .
Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не изучаются в элементарной аналитической геометрии, потому что преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Перекос - это пример преобразования, которое обычно не рассматривается. Для получения дополнительной информации обратитесь к статье в Википедии об аффинных преобразованиях .
Например, родительская функция имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты и занимает первый и третий квадрант, а все ее преобразованные формы имеют одну горизонтальную и вертикальную асимптоты и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем, если , то можно трансформировать в . В новой преобразованной функции это коэффициент, который растягивает функцию по вертикали, если он больше 1, или сжимает функцию по вертикали, если он меньше 1, а для отрицательных значений функция отражается на оси -axis. Значение сжимает график функции по горизонтали , если больше 1 и тянется функция по горизонтали , если меньше 1, и , как , отражает функцию в оси х , когда оно отрицательно. Значения и вводят переводы ,, вертикальный и горизонтальный. Положительные и значения означают , что функция переводятся к положительному концу своей оси и отрицательный смысл перевода к отрицательному концу.
Преобразования можно применять к любому геометрическому уравнению независимо от того, представляет оно функцию или нет. Преобразования можно рассматривать как отдельные транзакции или комбинации.
Предположим, что это отношение на плоскости. Например,
- отношение, описывающее единичную окружность.
Поиск пересечений геометрических объектов
Для двух геометрических объектов P и Q, представленных отношениями, а пересечение - это совокупность всех точек, которые находятся в обоих отношениях.
Например, это может быть круг с радиусом 1 и центром : и может быть круг с радиусом 1 и центром . Пересечение этих двух окружностей представляет собой набор точек, которые делают оба уравнения верными. Верны ли оба уравнения? Используя for , уравнение для становится истинным или истинным, так же как и в отношении . С другой стороны, все еще использование для уравнения для становится или которое является ложным. не на перекрестке, значит, не на перекрестке.
Пересечение и можно найти, решив одновременные уравнения:
Традиционные методы поиска пересечений включают замену и устранение.
Подстановка: решите первое уравнение для через, а затем подставьте выражение для второго уравнения:
- .
Затем мы подставляем это значение в другое уравнение и приступаем к поиску :
Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем для :
Итак, у нашего пересечения есть две точки:
Исключение : добавьте (или вычтите) одно уравнение, кратное другому, в другое уравнение, чтобы исключить одну из переменных. В нашем текущем примере, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим . В первом уравнении вычитается из второго уравнения, не оставляя члена. Переменная удалена. Затем мы решаем оставшееся уравнение для так же, как и в методе подстановки:
Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем для :
Итак, у нашего пересечения есть две точки:
Для конических сечений на пересечении может быть до 4 точек.
Поиск перехватчиков
Один тип пересечения, который широко изучается, - это пересечение геометрического объекта с осями координат и .
Пересечение геометрического объекта и оси -оси называется -перехват объекта. Пересечение геометрического объекта и оси -оси называется -перехват объекта.
Для линии параметр указывает точку, в которой линия пересекает ось. В зависимости от контекста либо точка , либо точка называется перехватом.
Касательные и нормали
Касательные линии и плоскости
В геометрии , то линия тангенса (или просто касательной ) к плоской кривой в заданной точке является прямой линией , что «только касается» кривой в этой точке. Неформально это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Более точно, прямая линия называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c на кривой, если прямая проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ), где f ' - производная от f . Аналогичное определение применяется к пространственным кривым и кривым в n- мерном евклидовом пространстве .
Проходя через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания , касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке. точка.
Точно так же касательная плоскость к поверхности в данной точке - это плоскость, которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной - одно из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии, которое было широко обобщено; см. Касательное пространство .
Нормальная линия и вектор
В геометрии , A нормальный представляет собой объект , такие как линия или вектор, перпендикулярные к данному объекту. Например, в двумерном случае нормальная линия к кривой в данной точке - это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.
В трехмерном случае поверхность нормального или просто нормальный , к поверхности в точке Р является вектором , который является перпендикулярно к касательной плоскости к этой поверхности при Р . Слово «нормальный» также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости , нормальный компонент силы , вектор нормали и т. Д. Понятие нормальности обобщается на ортогональность .
Смотрите также
Примечания
использованная литература
Книги
- Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Dover Publications, ISBN 978-0486438320
- Кахори, Флориан (1999), История математики , AMS, ISBN 978-0821821022
- Джон Кейси (1885) Аналитическая геометрия точек, линий, окружностей и конических сечений , ссылка из Интернет-архива .
- Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.) , Литература: Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN 0-321-01618-1
- Struik, DJ (1969), Справочник по математике, 1200-1800 , Harvard University Press, ISBN 978-0674823556
Статьи
- Bissell, Кристофер С. (1987), "декартова геометрия: голландский вклад", Математическая Интеллидженсер , 9 : 38-44, DOI : 10.1007 / BF03023730
- Бойер, Карл Б. (1944), "Аналитическая геометрия: Открытие Ферма и Декарта", Математика Преподаватель , 37 (3): 99-105, DOI : 10,5951 / MT.37.3.0099
- Бойер, Карл Б. (1965), "Иоганн Hudde и пространственные координаты", Математика Преподаватель , 58 (1): 33-36, DOI : 10,5951 / MT.58.1.0033
- Кулидж, JL (1948), "Начала аналитической геометрии в трех измерениях", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76-86, DOI : 10,2307 / 2305740 , JSTOR 2305740
- Пекл Дж. Ньютон и аналитическая геометрия
внешние ссылки
- Темы по координатной геометрии с интерактивной анимацией