Закон силы Ампера - Ampère's force law

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Два токоведущих провода притягиваются друг к другу магнитно: нижний провод имеет ток I ₁ , который создает магнитное поле B ₁ . Верхний провод проводит ток I ₂ через магнитное поле B ₁ , поэтому (за счет силы Лоренца ) на провод действует сила F ₁₂ . (Не показан одновременный процесс, когда верхний провод создает магнитное поле, которое приводит к силе, действующей на нижний провод.)

В магнитостатике силу притяжения или отталкивания между двумя токоведущими проводами (см. Первый рисунок ниже) часто называют законом силы Ампера . Физическое происхождение этой силы состоит в том, что каждый провод генерирует магнитное поле в соответствии с законом Био – Савара , а другой провод, как следствие, испытывает магнитную силу в соответствии с законом силы Лоренца .

Уравнение

Особый случай: два прямых параллельных провода

Самый известный и простейший пример закона силы Ампера, который лежал в основе (до 20 мая 2019 г.) определения ампера , единицы тока СИ , гласит, что магнитная сила на единицу длины между двумя прямыми параллельными проводниками равна

${\ displaystyle {\ frac {F_ {m}} {L}} = 2k _ {\ rm {A}} {\ frac {I_ {1} I_ {2}} {r}}}$ ,

где - магнитная силовая константа из закона Био-Савара , - общая сила, действующая на любой провод на единицу длины более короткого (более длинный аппроксимируется как бесконечно длинный по сравнению с более коротким), - расстояние между двумя проводами, и , являются прямые токи , переносимые проводами. ${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$${\ displaystyle F_ {m} / L}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$

Это хорошее приближение, если один провод достаточно длиннее другого, так что его можно приблизительно считать бесконечно длинным, и если расстояние между проводами мало по сравнению с их длиной (так, что выполняется приближение с одним бесконечным проводом), но большие по сравнению с их диаметром (так что их также можно аппроксимировать бесконечно тонкими линиями). Значение зависит от выбранной системы единиц, а значение определяет, насколько велика будет единица измерения тока. В SI системы, ${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$

${\ Displaystyle к _ {\ rm {A}} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} }$

с на магнитной проницаемости , определенные в единицах СИ , как ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

${\ displaystyle \ mu _ {0} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7}}$ Н / ² .

Таким образом, в вакууме

сила на метр длины между двумя параллельными проводниками, расположенными на расстоянии 1 м друг от друга и каждый из которых пропускает ток 1  А, точно равна

${\ displaystyle \ displaystyle 2 \ times 10 ^ {- 7}}$ Н / м .

Общий случай

Общая формулировка магнитной силы для произвольной геометрии основана на повторяющихся линейных интегралах и объединяет закон Био – Савара и силу Лоренца в одном уравнении, как показано ниже.

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ times} \ (I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}}$ ,

куда

• ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12}}$ это общая магнитная сила, воспринимаемая проводом 1 из-за провода 2 (обычно измеряется в ньютонах ),
• ${\ displaystyle I_ {1}}$ и - токи, протекающие по проводам 1 и 2 соответственно (обычно измеряются в амперах ), ${\ displaystyle I_ {2}}$
• Интегрирование двойной линии суммирует силу, действующую на каждый элемент провода 1 из-за магнитного поля каждого элемента провода 2,
• ${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1}}$ и - бесконечно малые векторы, связанные с проводом 1 и проводом 2 соответственно (обычно измеряются в метрах ); см. линейный интеграл для подробного определения, ${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {2}}$
• Вектор - это единичный вектор, указывающий от дифференциального элемента на проводе 2 к дифференциальному элементу на проводе 1, и | r | расстояние, разделяющее эти элементы, ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21}}$
• Умножение × - векторное векторное произведение ,
• Знак относительно ориентации (например, если указывает в направлении обычного тока , то ). ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {n}}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1}}$${\ displaystyle I_ {1}> 0}$

Чтобы определить силу между проволоками в материальной среде, магнитная постоянная заменяется фактической проницаемостью среды.

Для случая двух отдельных замкнутых проводов закон можно переписать следующим эквивалентным образом, расширив векторное тройное произведение и применив теорему Стокса:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2} } {\ frac {(I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ cdot} \ I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2}) \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21}} {| r | ^ {2}}}.}$

В этой форме сразу очевидно, что сила, действующая на провод 1 со стороны провода 2, равна и противоположна силе, действующей на провод 2 со стороны провода 1, в соответствии с 3-м законом Ньютона .

Историческое прошлое

Схема оригинального эксперимента Ампера

Форма закона силы Ампера, обычно приводимая, была получена Максвеллом и является одним из нескольких выражений, согласующихся с первоначальными экспериментами Ампера и Гаусса . Х-составляющая силы между двумя линейными токами I и I ', как показано на соседней диаграмме, была дана Ампером в 1825 году и Гауссом в 1833 году следующим образом:

${\ displaystyle dF_ {x} = kII'ds '\ int ds {\ frac {\ cos (xds) \ cos (rds') - \ cos (rx) \ cos (dsds ')} {r ^ {2}} }.}$

Вслед за Ампером ряд ученых, в том числе Вильгельм Вебер , Рудольф Клаузиус , Джеймс Клерк Максвелл , Бернхард Риман , Герман Грассманн и Вальтер Ритц , разработали это выражение, чтобы найти фундаментальное выражение силы. Путем дифференциации можно показать, что:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos (xds) \ cos (rds ')} {r ^ {2}}} = - \ cos (rx) {\ frac {(\ cos \ epsilon -3 \ cos \ phi \ соз \ phi ')} {г ^ {2}}}}$ .

а также личность:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos (rx) \ cos (dsds ')} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ cos (rx) \ cos \ epsilon} {r ^ {2}}} }$ .

С помощью этих выражений закон силы Ампера может быть выражен как:

${\ displaystyle dF_ {x} = kII'ds '\ int ds' \ cos (rx) {\ frac {2 \ cos \ epsilon -3 \ cos \ phi \ cos \ phi '} {r ^ {2}}} }$ .

Используя удостоверения:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial r} {\ partial s}} = \ cos \ phi, {\ frac {\ partial r} {\ partial s '}} = - \ cos \ phi'}$ .

и

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} r} {\ partial s \ partial s '}} = {\ frac {- \ cos \ epsilon + \ cos \ phi \ cos \ phi'} {r}} }$ .

Результаты Ампера можно выразить в виде:

${\ displaystyle d ^ {2} F = {\ frac {kII'dsds '} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial s}} {\ frac {\ partial r} {\ partial s '}} - 2r {\ frac {\ partial ^ {2} r} {\ partial s \ partial s'}} \ right)}$ .

Как заметил Максвелл, к этому выражению могут быть добавлены члены, которые являются производными функции Q (r), и при интегрировании компенсируют друг друга. Таким образом, Максвелл дал "наиболее общую форму, совместимую с экспериментальными фактами" для силы на ds, возникающей в результате действия ds ':

${\ displaystyle d ^ {2} F_ {x} = kII'dsds '{\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left [\ left (\ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial s}} {\ frac {\ partial r} {\ partial s '}} - 2r {\ frac {\ partial ^ {2} r} {\ partial s \ partial s'}} \ right) + r {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial s \ partial s '}} \ right) \ cos (rx) + {\ frac {\ partial Q} {\ partial s'}} \ cos (xds) - {\ frac {\ partial Q} {\ partial s}} \ cos (xds ') \ right]}$ .

Q - это функция r, согласно Максвеллу, которая «не может быть определена без каких-либо предположений из экспериментов, в которых активный ток образует замкнутую цепь». Взяв функцию Q (r) в виде:

${\ displaystyle Q = - {\ frac {(1 + k)} {2r}}}$

Получаем общее выражение для силы, действующей на ds со стороны ds:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {2r ^ {2}}} \ left [(3-k) {\ hat {\ mathbf {r_ {1}} }} (\ mathbf {dsds '}) -3 (1-k) {\ hat {\ mathbf {r_ {1}}}} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds}) (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds '}) - (1 + k) \ mathbf {ds} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds'}) - (1 + k ) \ mathbf {d's} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds}) \ right]}$ .

Интегрирование вокруг s исключает k, и получается исходное выражение, данное Ампером и Гауссом. Таким образом, что касается исходных экспериментов Ампера, значение k не имеет значения. Ампер взял k = -1; Гаусс взял k = +1, как это сделали Грассман и Клаузиус, хотя Клаузиус опустил S-компонент. В теориях неэфирных электронов Вебер взял k = -1, а Риман взял k = +1. Ритц оставил k неопределенным в своей теории. Если взять k = -1, мы получим выражение Ампера:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ left [2 \ mathbf {r} (\ mathbf {dsds'}) -3 \ mathbf {r} (\ mathbf {rds}) (\ mathbf {rds '}) \ right]}$

Если взять k = + 1, получим

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ left [\ mathbf {r} (\ mathbf {dsds'}) - \ mathbf { ds (rds ')} - \ mathbf {ds' (rds)} \ right]}$

Используя векторную идентичность для тройного перекрестного произведения, мы можем выразить этот результат как

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ left [\ left (\ mathbf {ds} \ times \ mathbf {ds'} \ times \ mathbf {r} \ right) + \ mathbf {ds '(rds)} \ right]}$

При интегрировании вокруг ds 'второй член равен нулю, и, таким образом, мы находим форму закона силы Ампера, данную Максвеллом:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = kII '\ int \ int {\ frac {\ mathbf {ds} \ times (\ mathbf {ds'} \ times \ mathbf {r})} {| r | ^ {3} }}}$

Вывод случая параллельной прямой проволоки из общей формулы

Начнем с общей формулы:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ times} \ (I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}}$ ,

Предположим, что провод 2 расположен вдоль оси x, а провод 1 находится в точке y = D, z = 0, параллельно оси x. Позвольте быть координатой x дифференциального элемента провода 1 и провода 2 соответственно. Другими словами, дифференциальный элемент провода 1 находится в точке, а дифференциальный элемент провода 2 находится в точке . По свойствам линейных интегралов, и . Также, ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, D, 0)}$${\ displaystyle (x_ {2}, 0,0)}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1} = (dx_ {1}, 0,0)}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {2} = (dx_ {2}, 0,0)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21} = {\ frac {1} {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} }}} (x_ {1} -x_ {2}, D, 0)}$

и

${\ displaystyle | r | = {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2}}}}$

Следовательно, интеграл равен

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {(dx_ {1}, 0,0) \ \ mathbf {\ times} \ \ left [(dx_ {2}, 0,0) \ \ mathbf {\ times} \ (x_ {1} -x_ {2}, D, 0) \ right]} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} | ^ {3/2} }}}$ .

Оценка перекрестного продукта:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} dx_ {1} dx_ {2} {\ frac {(0, -D, 0)} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ { 2} | ^ {3/2}}}}$ .

Затем мы интегрируем от до : ${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} {\ frac {2} {D}} (0, -1,0) \ int _ {L_ {1}} dx_ {1}}$ .

Если провод 1 также бесконечен, интеграл расходится, потому что общая сила притяжения между двумя бесконечными параллельными проводами равна бесконечности. Фактически, мы действительно хотим знать силу притяжения на единицу длины провода 1. Поэтому предположим, что провод 1 имеет большую, но конечную длину . Тогда вектор силы, воспринимаемый проводом 1, равен: ${\ displaystyle L_ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} {\ frac {2} {D}} (0, -1,0) L_ {1}}$ .

Как и ожидалось, сила, которую испытывает провод, пропорциональна его длине. Сила на единицу длины:

${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {F}} _ {12}} {L_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {2 \ pi D}} (0, -1,0)}$ .

Направление силы - вдоль оси y, представляя провод 1, тянущийся к проводу 2, если токи параллельны, как и ожидалось. Величина силы на единицу длины соответствует приведенному выше выражению . ${\ displaystyle {\ frac {F_ {m}} {L}}}$

Известные выводы закона силы Ампера

В хронологическом порядке:

• Оригинальное происхождение Ампера 1823 года:
  • Ассис, Андре Кох Торрес; Чайб, JPM C; Ампер, Андре-Мари (2015). Электродинамика Ампера: анализ значения и эволюции силы Ампера между элементами тока, вместе с полным переводом его шедевра: Теория электродинамических явлений, однозначно выведенная из опыта (PDF) . Монреаль: Апейрон. ISBN   978-1-987980-03-5 .
• Вывод Максвелла 1873 года:
  • Трактат об электричестве и магнетизме, т. 2, часть 4, гл. 2 (§§502–527)
• Вывод Пьера Дюгема 1892 года:
  • Дюгем, Пьер Морис Мари (9 сентября 2018 г.). Закон силы Ампера: современное введение . Алан Аверса (пер.). DOI : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Дата обращения 3 июля 2019 . ( EPUB )
    • перевод: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, приложение к книге 14, стр. 309-332 (на французском языке)
• Вывод Альфреда О'Рахилли 1938 года:
  • Электромагнитная теория: критическое рассмотрение основ vol. 1, pp. 102–104 (см. Также следующие страницы)

Смотрите также

• Ампер
• Магнитная постоянная
• Сила Лоренца
• Обходной закон Ампера
• Свободное место

Ссылки и примечания

внешняя ссылка

• Закон силы Ампера Включает анимированное изображение векторов силы.