Мнемоника в тригонометрии - Mnemonics in trigonometry

В тригонометрии обычно используется мнемоника, чтобы помочь запомнить тригонометрические тождества и отношения между различными тригонометрическими функциями .

SOH-CAH-TOA

Мнемоника изображения, помогающая запомнить соотношение сторон прямоугольного треугольника

Отношения синуса , косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их в виде цепочек букв, например SOH-CAH-TOA на английском языке:

S ине = O pposite ÷ Н ypotenuse

C osine = A djacent ÷ H ypotenuse

Т angent = O pposite ÷ djacent

Один из способов запомнить буквы, чтобы звук их фонетически (т.е. / ˌ s oʊ к ə т oʊ . Ə / SOH -kə- TOH -ə ).

Другой метод - превратить буквы в предложение, например: «Некоторые старые лошади счастливо жуют яблоки в старости», «Какой-то старый хиппи поймал еще одного хиппи, который зацепился за кислоту» или «Изучение домашней работы всегда может помочь достичь успеха». Порядок может быть изменен, как в «Томми на своем корабле поймал селедку» (касательная, синус, косинус) или «Полковник старой армии и его сын часто икоты» (касательная, косинус, синус). Сообщества в китайских кругах могут запомнить его как TOA-CAH-SOH, что также означает « широконогая женщина» ( китайский :大腳嫂; Pe̍h-ōe-jī : tōa-kha-só ) на языке хоккиен .

Альтернативный способ запомнить буквы для Sin, Cos, Tan и является запоминать бессмысленные слоги Ах, Ах, Ах-Ах (т.е. / oʊ ə oʊ . Ə / ) для O / H, A / H, O / A . Или, чтобы запомнить все шесть функций: Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Csc, запомните слоги O / H, A / H, Oh / Ah, Ah / Oh, H / A, H / O (т.е. / oʊ ə oʊ . ə ə oʊ ч ə ч oʊ / ). Более длинные мнемонические символы для этих букв включают «Оскар держал Энджи» и «У Оскара была куча яблок».

Все учащиеся проходят исчисление

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте.

All S tudents T ake C alculus - мнемоника для знака каждой тригонометрической функции в каждом квадранте плоскости. Буквы ASTC обозначают, какие из тригонометрических функций положительны, начиная с верхнего правого 1-го квадранта и перемещаясь против часовой стрелки через квадранты 2-4.

Квадрант I (углы от 0 до 90 градусов или от 0 до π / 2 радиан): все тригонометрические функции в этом квадранте положительны.
Квадрант II (углы от 90 до 180 градусов, или я / 2 до П радианов): S иня и Косеканс функция являются положительными в этом квадранте.
Квадрант III (углы от 180 до 270 градусов или от π до 3π / 2 радиан): функции угла Т и котангенса положительны в этом квадранте.
Квадрант IV (углы от 270 до 360 градусов, или 3π / 2 до 2π радиана): С osine и секущие функциями являются положительными в этом квадранте.

Другая мнемоника включает:

Все S tations Т о С ентральным
Все S Illy Т ом С ATS
Дд S угар Т о С Оффи
Все S cience T eachers (являются) С Razy
A S mart T rig C класс

Другая легко запоминающаяся мнемоника - это законы ACTS и CAST . У них есть недостатки, заключающиеся в том, что они не переходят последовательно от квадрантов 1 к 4 и не усиливают соглашение о нумерации квадрантов.

CAST по- прежнему идет против часовой стрелки, но начинается в квадранте 4, проходя через квадранты 4, 1, 2, затем 3.
ACTS по- прежнему начинается в квадранте 1, но проходит по часовой стрелке через квадранты 1, 4, 3, затем 2.

Синусы и косинусы особых углов

Синусы и косинусы общих углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 ° следуют шаблону с $n = 0, 1, ..., 4$ для синуса и $n = 4, 3, ..., 0$ для косинус соответственно: ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {n}} {2}}}$

${\ displaystyle \ theta}$	${\ Displaystyle \ грех \ тета}$	${\ displaystyle \ cos \ theta}$	${\ displaystyle \ tan \ theta = \ sin \ theta {\ Big /} \ cos \ theta}$
0 ° = 0 радиан	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {blue} {0}}}} {2}} = \; \; 0}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {красный} {4}}}} {2}} = \; \; 1}$	${\ Displaystyle \; \; 0 \; \; {\ Big /} \; \; 1 \; \; = \; \; 0}$
30 ° = $π$ /6 радианы	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {teal} {1}}}} {2}} = \; \, {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {оранжевый} {3}}}} {2}}}$	${\ displaystyle \; \, {\ frac {1} {2}} \; {\ Big /} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {3 }}}}$
45 ° = $π$ /4 радианы	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {green} {2}}}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {green} {2}}}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ Big /} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \; \; 1}$
60 ° = $π$ /3 радианы	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {оранжевый} {3}}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {teal} {1}}}} {2}} = \; {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ Big /} \; {\ frac {1} {2}} \; \, = {\ sqrt {3}}}$
90 ° = $π$ /2 радианы	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {красный} {4}}}} {2}} = \; \, 1}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {blue} {0}}}} {2}} = \; \, 0}$	${\ Displaystyle \; \; 1 \; \; {\ Big /} \; \; 0 \; \; =}$ неопределенный

Шестиугольная диаграмма

Мнемоника тригонометрических тождеств

Другая мнемоника позволяет быстро считывать все основные идентификаторы. Гексагональную диаграмму можно построить, немного подумав:

Нарисуйте три треугольника, указывающих вниз и соприкасающихся в одной точке. Это напоминает трилистник убежища от радиоактивных осадков .
Напишите 1 посередине в месте соприкосновения трех треугольников.
Напишите функции без "со" на трех левых внешних вершинах (сверху вниз: синус , касательная , секущая )
Пишет со-функцию на соответствующие три правых внешних вершинах ( совместное синус, со касательные, со секущей)

Начиная с любой вершины получившегося шестиугольника:

Начальная вершина равна единице над противоположной вершиной. Например, ${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {1} {\ csc A}}}$
Если двигаться по часовой стрелке или против часовой стрелки, начальная вершина равна следующей вершине, деленной на вершину после нее. Например, ${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ cos A} {\ cot A}} = {\ frac {\ tan A} {\ sec A}}}$
Начальный угол равен произведению двух ближайших соседей. Например, ${\ Displaystyle \ грех А = \ соз А \ cdot \ загар А}$
Сумма квадратов двух элементов вверху треугольника равна квадрату элемента внизу. Это тригонометрические тождества Пифагора :

{\ Displaystyle \ грех ^ {2} А + \ соз ^ {2} А = 1 \}

{\ displaystyle 1+ \ cot ^ {2} A = \ csc ^ {2} A \}

{\ displaystyle \ tan ^ {2} A + 1 = \ sec ^ {2} A \}

Помимо последнего маркера, в этой таблице приведены конкретные значения для каждого идентификатора:

Функция запуска	... равно 1/противоположный	... равно первый/второй по часовой стрелке	... равно первый/второй против часовой стрелки	... равняется произведению двух ближайших соседей
${\ displaystyle \ tan A}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ cot A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ sin A} {\ cos A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ sec A} {\ csc A}}}$	${\ displaystyle = \ sin A \ cdot \ sec A}$
${\ displaystyle \ sin A}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ csc A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ cos A} {\ cot A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ tan A} {\ sec A}}}$	${\ Displaystyle = \ соз А \ cdot \ загар А}$
${\ displaystyle \ cos A}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ sec A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ cot A} {\ csc A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ sin A} {\ tan A}}}$	${\ displaystyle = \ sin A \ cdot \ cot A}$
${\ displaystyle \ cot A}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ tan A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ csc A} {\ sec A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ cos A} {\ sin A}}}$	${\ Displaystyle = \ соз А \ cdot \ csc A}$
${\ displaystyle \ csc A}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ sin A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ sec A} {\ tan A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ cot A} {\ cos A}}}$	${\ displaystyle = \ cot A \ cdot \ sec A}$
${\ displaystyle \ sec A}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ cos A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ tan A} {\ sin A}}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ csc A} {\ cot A}}}$	${\ Displaystyle = \ csc A \ cdot \ tan A}$