Аэроакустика - Aeroacoustics

Аэроакустика - это раздел акустики , изучающий генерацию шума за счет либо турбулентного движения жидкости, либо аэродинамических сил, взаимодействующих с поверхностями. Генерация шума также может быть связана с периодически меняющимися потоками. Ярким примером этого явления являются эоловые тона, создаваемые ветром, дующим над неподвижными объектами.

Хотя не существует полной научной теории генерации шума аэродинамическими потоками, наиболее практический аэроакустический анализ основан на так называемой аэроакустической аналогии , предложенной сэром Джеймсом Лайтхиллом в 1950-х годах в Манчестерском университете . посредством чего основные уравнения движения жидкости приводятся к форме, напоминающей волновое уравнение «классической» (т.е. линейной) акустики в левой части, а остальные члены в качестве источников в правой части.

История

Можно сказать, что современная дисциплина аэроакустики возникла с первой публикацией Lighthill в начале 1950-х годов, когда генерация шума, связанная с реактивным двигателем, начала подвергаться научному исследованию.

Уравнение Лайтхилла

Лайтхилл переставить уравнений Навье-Стокса , которые регулируют поток в виде сжимаемой вязкой жидкости , в неоднородном волнового уравнения , в результате чего соединение между механики жидкости и акустики . Это часто называют «аналогией Лайтхилла», потому что она представляет модель акустического поля, которая, строго говоря, не основана на физике шума, вызванного / генерируемого потоком, а скорее на аналогии того, как они могут быть представлены через управляющие уравнения сжимаемой жидкости.

Первое интересное уравнение - это уравнение сохранения массы , которое гласит

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {v} \ right) = {\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0,}$

где и представляют плотность и скорость жидкости, которые зависят от пространства и времени, и является существенной производной . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle D / Dt}$

Далее идет уравнение сохранения импульса , которое задается формулой

${\ displaystyle {\ rho} {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + {\ rho (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v}} = - \ nabla п + \ набла \ cdot \ sigma,}$

где - термодинамическое давление , - вязкая (или бесследная) часть тензора напряжений из уравнений Навье – Стокса. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ sigma}$

Теперь, если умножить уравнение сохранения массы на и добавить его к уравнению сохранения количества движения, получим ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ rho \ mathbf {v} \ right) + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}) = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ sigma.}$

Обратите внимание, что это тензор (см. Также тензорное произведение ). Дифференцируя уравнение сохранения массы по времени, беря дивергенцию последнего уравнения и вычитая последнее из первого, получаем ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p + \ nabla \ cdot \ nabla \ cdot \ sigma = \ nabla \ cdot \ набла \ cdot (\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}).}$

Вычитание , где - скорость звука в среде в ее равновесном (или неподвижном) состоянии, из обеих частей последнего уравнения и преобразование ее в результате дает ${\ displaystyle c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho}$${\ displaystyle c_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho = \ nabla \ cdot \ left [\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}) - \ nabla \ cdot \ sigma + \ nabla p-c_ {0} ^ {2} \ nabla \ rho \ right],}$

что эквивалентно

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho = (\ nabla \ otimes \ набла): \ left [\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} - \ sigma + (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ mathbb {I} \ right],}$

где - тождественный тензор, а означает оператор (двойного) тензорного сжатия . ${\ displaystyle \ mathbb {I}}$${\ displaystyle:}$

Вышеприведенное уравнение является знаменитым уравнением Лайтхилла для аэроакустики. Это волновое уравнение с источником в правой части, т.е. неоднородное волновое уравнение. Аргументом «оператора двойной дивергенции» в правой части последнего уравнения, т.е. является так называемый тензор напряжений турбулентности Лайтхилла для акустического поля , который обычно обозначается как . ${\ displaystyle \ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} - \ sigma + (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ mathbb {I}}$${\ displaystyle T}$

Используя обозначения Эйнштейна , уравнение Лайтхилла можно записать как

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho = {\ frac {\ partial ^ {2} T_ {ij}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}, \ quad (*)}$

где

${\ displaystyle T_ {ij} = \ rho v_ {i} v_ {j} - \ sigma _ {ij} + (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ delta _ {ij},}$

и является дельтой Кронекера . Каждая из составляющих источника звука, т.е. составляющих в , может играть значительную роль в генерации шума в зависимости от рассматриваемых условий потока. описывает нестационарную конвекцию потока (или напряжение Рейнольдса, разработанный Осборном Рейнольдсом ), описывает звук, генерируемый вязкостью, и описывает процессы нелинейной акустической генерации. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle \ rho v_ {i} v_ {j}}$${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$${\ displaystyle (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ delta _ {ij}}$

На практике обычно пренебрегают влиянием вязкости на жидкость, т. Е. Принимают, потому что общепризнано, что влияние последней на генерацию шума в большинстве ситуаций на порядки меньше, чем влияние другой вязкости. термины. Лайтхилл подробно обсуждает этот вопрос. ${\ displaystyle \ sigma = 0}$

В аэроакустических исследованиях предпринимаются как теоретические, так и вычислительные усилия, чтобы найти члены акустического источника в уравнении Лайтхилла, чтобы сделать утверждения относительно присутствующих соответствующих механизмов генерации аэродинамического шума.

Наконец, важно понимать, что уравнение Лайтхилла является точным в том смысле, что при его выводе не было сделано никаких приближений.

Связанные уравнения модели

В своем классическом тексте на механике жидкости , Ландау и Лифшиц вывести аэроакустическое уравнение , аналогичную Лайтхиллу (то есть, уравнение для звука , генерируемого « турбулентного » движение текучей среды), но и для несжимаемой жидкости в качестве невязкой жидкости. Полученное ими неоднородное волновое уравнение относится скорее к давлению , чем к плотности жидкости. Кроме того, в отличии от уравнения Лайтхиллы, Ландау и Лифшиц является не точным; это приближение. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$

Если нужно позволить приближения, которые должны быть сделаны, более простой способ (без обязательного предположения, что жидкость несжимаема ) получить приближение к уравнению Лайтхилла состоит в том , чтобы предположить, что , где и - (характеристическая) плотность и давление жидкости в ее состояние равновесия. Тогда, подставив предполагаемую связь между давлением и плотностью в, мы получим уравнение (для невязкой жидкости σ = 0) ${\ Displaystyle п-р_ {0} = c_ {0} ^ {2} (\ rho - \ rho _ {0})}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle p_ {0}}$${\ Displaystyle (*) \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p = {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {T}} _ {ij}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}, \ quad {\ text {where}} \ quad {\ tilde {T}} _ {ij} = \ rho v_ {i} v_ {j}.}$

А для случая, когда жидкость действительно несжимаема, т. Е. (Для некоторой положительной постоянной ) всюду, то мы получаем в точности уравнение, данное Ландау и Лифшицем, а именно ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p = \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ hat {T}} _ {ij}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}, \ quad {\ text {where}} \ quad {\ hat {T}} _ {ij} = v_ {i} v_ {j}.}$

Подобное приближение [в контексте уравнения ], а именно , предложено Лайтхиллом [см. (7) в последней статье]. ${\ Displaystyle (*) \,}$${\ displaystyle T \ приблизительно \ rho _ {0} {\ hat {T}}}$

Конечно, можно задаться вопросом, есть ли у нас основания предполагать это . Ответ утвердительный, если поток удовлетворяет некоторым основным предположениям. В частности, если и , то предполагаемое соотношение вытекает непосредственно из линейной теории звуковых волн (см, например, в линеаризованных уравнения Эйлера и уравнение акустической волны ). Фактически, приблизительное соотношение между и, которое мы предположили, является просто линейным приближением к общему баротропному уравнению состояния жидкости. ${\ Displaystyle п-р_ {0} = c_ {0} ^ {2} (\ rho - \ rho _ {0})}$${\ displaystyle \ rho \ ll \ rho _ {0}}$${\ displaystyle p \ ll p_ {0}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$

Однако даже после вышеупомянутых обсуждений все еще не ясно, оправдано ли использование изначально линейной зависимости для упрощения нелинейного волнового уравнения. Тем не менее, это очень распространенная практика в нелинейной акустике, как показывают учебники по этой теме: например, Наугольных и Островского, Гамильтона и Морфея.

Смотрите также

• Акустическая теория
• Эолова арфа
• Вычислительная аэроакустика

использованная литература

внешние ссылки

• MJ Lighthill, "О звуке, генерируемом аэродинамически. I. Общая теория", Proc. R. Soc. Лондон. А 211 (1952), стр. 564–587. Эта статья о JSTOR .
• MJ Lighthill, "О звуке, генерируемом аэродинамически. II. Турбулентность как источник звука", Proc. R. Soc. Лондон. А 222 (1954) стр. 1–32. Эта статья о JSTOR .
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика жидкости 2-е изд., Курс теоретической физики, т. 6, Баттерворт-Хайнеман (1987) §75. ISBN   0-7506-2767-0 , предварительный просмотр с Amazon .
• Наугольных К., Островский Л. Нелинейные волновые процессы в акустике. Кембриджские тексты по прикладной математике. 9, Cambridge University Press (1998), гл. 1. ISBN   0-521-39984-X , предварительная версия от Google .
• MF Гамильтон и CL Морфей, "Модельные уравнения", Нелинейная акустика , ред. MF Hamilton и DT Blackstock, Academic Press (1998), гл. 3. ISBN   0-12-321860-8 , предварительная версия от Google .
• Аэроакустика в Университете Миссисипи
• Аэроакустика в Левенском университете
• Международный журнал аэроакустики
• Примеры аэроакустики из НАСА, заархивированные 4 марта 2016 года на Wayback Machine.
• Aeroacoustics.info