Адельная алгебраическая группа - Adelic algebraic group

В абстрактной алгебре , Адельная алгебраическая группа является полутопологической группа определяется посредством алгебраической группы G над числовым полем K , и кольцо аделей = ( К ) из К . Он состоит из точек G, имеющих значения в A ; определение подходящей топологии несложно только в том случае, если G - линейная алгебраическая группа . В случае, когда G является абелевой разновидностью , она представляет собой техническое препятствие, хотя известно, что эта концепция потенциально полезна в связи с числами Тамагавы. Адельные алгебраические группы широко используются в теории чисел , особенно в теории автоморфных представлений и арифметике квадратичных форм .

В случае, если G - линейная алгебраическая группа, это аффинное алгебраическое многообразие в аффинном N -пространстве. Топология на адельной алгебраической группы берется быть топология подпространства в A ^N , в декартово произведение из N копий адельной кольца. В данном случае - топологическая группа. ${\ Displaystyle G (A)}$${\ Displaystyle G (A)}$

Ideles

Важным примером является группа иделей I ( K ) . Здесь множество идель (также идели / ɪ д ɛ л г / ) состоит из обратимых аделей; но топология группы идеалов не является их топологией как подмножества аделей. Вместо этого, учитывая, что это находится в двумерном аффинном пространстве как « гипербола », параметрически определяемая ${\ displaystyle G = GL_ {1}}$ ${\ displaystyle GL_ {1}}$

${\ Displaystyle \ {(т, т ^ {- 1}) \},}$

топология, правильно назначенная группе иделей, индуцирована включением в A ² ; составляя с выступом, то отсюда следует , что идели несет в себе топологию более тонкой , чем топология подпространства из  A .

Внутри A ^N произведение K ^N лежит как дискретная подгруппа . Это означает, что G ( K ) также является дискретной подгруппой в G ( A ). В случае группы иделей фактор-группа

${\ Displaystyle I (К) / К ^ {\ раз} \,}$

группа классов иделей . Он тесно связан (хотя и больше) с идеальной группой классов . Группа классов иделей сама по себе не компактна; сначала необходимо заменить идели на иделы нормы 1, а затем образ идеелей в группе классов является компактной группой ; доказательство этого по существу эквивалентно конечности числа классов.

Изучение когомологий Галуа групп классов идеелей является центральным вопросом теории полей классов . Персонажи группы классов idele , которые теперь обычно называют персонажами Гекке или персонажами Грёссена, порождают самый основной класс L-функций .

Числа тамагава

Для более общего G число Тамагавы определяется (или вычисляется косвенно) как мера

G ( А ) / G ( К ).

Наблюдение Цунео Тамагавы заключалось в том, что, начиная с инвариантной дифференциальной формы ω на G , определенной над K , соответствующая мера была четко определена : хотя ω можно было заменить на c ω, где c - ненулевой элемент K , произведение Формула для оценок в K отражается в независимости от c меры частного для меры продукта, построенной из ω для каждого эффективного фактора. Вычисление чисел Тамагавы для полупростых групп содержит важные разделы классической теории квадратичных форм .

История терминологии

Исторически идели были введены Шевалле  ( 1936 ) под названием «élément idéal», что означает «идеальный элемент» на французском языке, который Шевалле (1940) затем сократил до «идель» по предложению Хассе. (В этих статьях он также придал идеелям нехаусдорфову топологию .) Это должно было сформулировать теорию полей классов для бесконечных расширений в терминах топологических групп. Вейль (1938) определил (но не назвал) кольцо аделей в случае функционального поля и указал, что группа Idealelemente Шевалле является группой обратимых элементов этого кольца. Тейт (1950) определил кольцо аделей как ограниченный прямой продукт, хотя он назвал его элементы «векторами оценки», а не аделями.

Шевалле (1951) определил кольцо аделей в случае функционального поля под названием «переделки». Термин адель (сокращение от аддитивных иделей, а также имени француженки) стал использоваться вскоре после этого ( Jaffard, 1953 ) и, возможно, был введен Андре Вейлем . Общая конструкция адельных алгебраических групп Оно (1957) следовала теории алгебраических групп, основанной Арманом Борелем и Хариш-Чандрой .

Ссылки

• Шевалье, Claude (1936), "Généralisation - де - л Théorie его кордебалет классов налить ль расширений infinies.", Журнал де Mathématiques Pures и др Appliqué (на французском языке), 15 : 359-371, JFM  62.1153.02
• Шевалье, Claude (1940), "La Théorie дю кордебалета классы", Анналы математики , второй серии, 41 : 394-418, DOI : 10,2307 / 1969013 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969013 , MR  0002357
• Шевалле, Клод (1951), Введение в теорию алгебраических функций одной переменной , Математические обзоры, № VI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0042164
• Жаффар, Поль (1953), Anneaux d'adèles (d'après Iwasawa) , Séminaire Bourbaki, Secrétariat mathématique, Париж, MR  0157859
• Оно, Такаши (1957), "Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 85 : 307–323, ISSN  0037-9484 , MR  0094362
• Тейт, Джон Т. (1950), "Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке", Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Брайтон, 1965) , Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR  0217026
• Вейль, Андре (1938), "Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen". , Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ), 179 : 129-133, DOI : 10,1515 / crll.1938.179.129 , ISSN  0075-4102

внешняя ссылка

• Рапинчук, А.С. (2001) [1994], "Число Тамагавы" , Энциклопедия математики , EMS Press