Акустическая теория - Acoustic theory


Из Википедии, свободной энциклопедии

Акустическая теория представляет собой научное направление , которое относится к описанию звуковых волн . Оно происходит от динамики жидкости . См акустики для инженерного подхода.

Распространение звуковых волн в жидкости (например, воды) может быть смоделировано уравнением непрерывности (сохранения массы ) и уравнения движения (сохранение импульса ). С некоторыми упрощениями, в частности , постоянной плотности, они могут быть приведены следующим образом :

где это звуковое давление и является скорость потока вектора, вектор пространственных координат , время, является статической плотность массы среды и является объемным модулем упругости среды. Объемный модуль упругости может быть выражено в терминах плотности и скорости звука в среде ( ) , как

Если поле скоростей потока безвихревым , , то уравнение акустической волны представляет собой сочетание этих двух наборов уравнений баланса и может быть выражена как

где мы использовали вектор лапласиан , . Уравнение акустической волны (и масса и импульс уравнения баланса) часто выражаются в терминах скалярного потенциала где . В этом случае уравнение акустической волны записывается в виде

и импульс баланс и баланс массы выражены как

Вывод основных уравнений

Дифференцирования приведенных выше уравнений для волн в акустической среде приведены ниже.

Сохранение импульса

Уравнения сохранения импульса для текучей среды являются

где есть сила тела на единицу массы, является давление, и это девиаторный стресс . Если это напряжение Коши , то

где это единичный тензор ранга 2.

Мы делаем несколько предположений вывести уравнение баланса импульса для акустической среды. Эти предположения и результирующие формы уравнений движения приведены ниже.

Предположение 1: ньютоновская жидкость

В акустике, предполагается , что текучая среда , чтобы быть ньютоновским . Для ньютоновской жидкости тензор напряжений девиаторной связана со скоростью потока от

где это сдвиг вязкость и является объемной вязкостью .

Таким образом, дивергенция дается

Используя тождество , мы имеем

Уравнения сохранения импульса может быть записано в виде

Предположение 2: Безвихревое поток

Для большинства акустических проблем , мы предполагаем , что поток безвихревое, то есть вихрь равен нулю. В таком случае

и уравнение импульса сводится к

Предположение 3: Нет тела силы

Другой часто делается предположение о том, что влияние сил организма на текучей среды можно пренебречь. Уравнение импульсов затем дополнительно упрощается

Предположение 4: Нет вязкие силы

Кроме того, если предположить, что нет силы вязкости в среде (основные и сдвиг вязкость равна нуль), то уравнение импульса имеет вид

Предположение 5: Мелкие нарушения

Важное упрощающее предположение для акустических волн является то , что амплитуда возмущения поля величин мала. Это предположение приводит к линейному или малому волновому уравнению акустического сигнала. Тогда мы можем выразить переменные как ( в среднем времени) сумма среднего поля ( ) , который изменяется в пространстве и малой флуктуирующей поле ( ) , который изменяется в пространстве и времени. То есть

а также

Тогда уравнение импульс может быть выражен как

Так как флуктуации предполагается малым, продукты с точки зрения флуктуаций можно пренебречь (для первого порядка) и мы имеем

Предположение 6: гомогенная среда

Далее мы предполагаем , что среда однородна; в том смысле , что усредненное по времени переменных и имеет нулевые градиенты, т.е.

Уравнение импульсов становится

Предположение 7: Среда в покое

На данном этапе мы предполагаем , что среда находится в состоянии покоя, что означает , что средняя скорость потока равна нулю, т . Тогда баланс импульса сводится к

Удаление тильды и с помощью , мы получаем обычно используемый вид уравнения акустического импульса

Сохранение массы

Уравнение для сохранения массы в объеме жидкости (без каких - либо массовых источников или стоков) задаются

где это массовая плотность жидкости и является скоростью потока.

Уравнение для сохранения массы для акустической среды также могут быть получены способом, аналогичным тому, который используется для сохранения импульса.

Предположение 1: Небольшие нарушения

Из предположения малых возмущений мы имеем

а также

Тогда уравнение баланса массы можно записать в виде

Если пренебречь выше, чем точки первого порядка в колебаниях, уравнение баланса массы становится

Предположение 2: гомогенная среда

Далее мы предполагаем, что среда однородна, т.е.

Тогда уравнение баланса массы принимает вид

Предположение 3: Средняя в покое

На данном этапе мы предполагаем , что среда находится в состоянии покоя, то есть . Тогда уравнение баланса масс может быть выражено как

Предположение 4: Идеальный газ, адиабатический, обратимы

Чтобы замкнуть систему уравнений потребуется уравнение состояния для давления. Чтобы сделать это , мы предполагаем , что среда является идеальным газом , и все акустические волны сжатия среды в адиабатическом и обратимым образом. Уравнение состояния может быть выражено в виде дифференциального уравнения:

где это удельная теплоемкость при постоянном давлении, является удельной теплоемкостью при постоянном объеме, а это скорость волны. Значение равно 1,4 , если акустическая среда представляет собой воздух.

Для малых возмущений

где есть скорость звука в среде.

Следовательно,

Баланс массы, то можно записать в виде

Опустив тильды и определение дает нам обычно используется выражение для баланса массы в акустической среде:

Определяющие уравнения в цилиндрических координатах

Если мы используем цилиндрическую систему координат с базисными векторами , а затем в градиенте от и расхождения в даются

где скорость потока была выражена как .

Уравнения сохранения импульса может быть записано в виде

С точки зрения компонентов, эти три уравнения для сохранения импульса в цилиндрических координатах являются

Уравнение для сохранения массы аналогично можно записать в цилиндрических координатах , как

Время гармоники акустических уравнений в цилиндрических координатах

Акустические уравнения для сохранения импульса и сохранения массы часто выражается во временной гармонической форме (при фиксированной частоте ). В этом случае давление и скорость потока предполагаются время гармонические функции вида

где частота. Подстановка этих выражений в основных уравнения в цилиндрических координатах дает нам форму фиксированной частоты сохранения импульса

и фиксированная форма частоты сохранения массы

Особый случай: Нет г-зависимость

В частном случае , когда полевые величины не зависят от г-координате мы можем устранить , чтобы получить

Предполагая, что решение этого уравнения можно записать в виде

мы можем записать дифференциальное уравнение в частных как

Левая рука не функция , а правая рука не является функцией . Следовательно,

где константа. Используя замену

у нас есть

Уравнение на левом является уравнением Бесселя , которое имеет общее решение

где находится цилиндрическая функция Бесселя первого рода и являются неопределенными константами. Уравнение справа имеет общее решение

где неопределенные константы. Тогда решение уравнения акустической волны

Граничные условия необходимы на данном этапе , чтобы определить и другие неопределенные константы.

Рекомендации

Смотрите также