ANOVA – одновременный компонентный анализ - ANOVA–simultaneous component analysis

Дисперсионный анализ - одновременный компонентный анализ ( ASCA или ANOVA – SCA ) - это метод, который разделяет вариации и позволяет интерпретировать эти разделы с помощью SCA, метода, аналогичного анализу основных компонентов (PCA) . Этот метод представляет собой многомерное или даже многомерное расширение дисперсионного анализа (ANOVA) . Вариационное разбиение аналогично ANOVA. Каждый раздел соответствует всем вариациям, вызванным эффектом или фактором , обычно режимом лечения или экспериментальным условием. Вычисленные распределения эффекта называются оценками эффекта. Поскольку даже оценки эффекта являются многомерными, интерпретация этих оценок эффектов не является интуитивной. Применяя SCA к оценкам эффекта, можно получить простой интерпретируемый результат. В случае нескольких эффектов этот метод оценивает эффекты таким образом, что различные эффекты не коррелируют.

подробности

Многие области исследований видят все большее количество переменных лишь в нескольких выборках . Низкое отношение выборки к переменной создает проблемы, известные как мультиколлинеарность и сингулярность . Из-за этого нельзя применять большинство традиционных методов многомерной статистики.

Алгоритм ASCA

В этом разделе подробно описано, как рассчитать модель ASCA для случая двух основных эффектов с одним эффектом взаимодействия. Заявленное обоснование легко расширить на большее количество основных эффектов и эффектов взаимодействия. Если первый эффект - это время, а второй - дозировка, существует только взаимодействие между временем и дозировкой. Мы предполагаем, что существует четыре временных точки и три уровня дозировки.

Пусть X будет матрицей , содержащей данные. X центрирован по среднему, поэтому столбцы с нулевым средним значением . Пусть A и B обозначают основные эффекты, а AB - взаимодействие этих эффектов. Двумя основными эффектами в биологическом эксперименте могут быть время (A) и pH (B), и эти два эффекта могут взаимодействовать. При разработке таких экспериментов контролируются основные эффекты на нескольких (как минимум, двух) уровнях. Различные уровни эффекта могут быть обозначены как A1, A2, A3 и A4, что соответствует 2, 3, 4, 5 часам от начала эксперимента. То же самое относится и к эффекту B, например, pH 6, pH 7 и pH 8 могут считаться уровнями воздействия.

A и B должны быть сбалансированы, если оценки эффекта должны быть ортогональными, а разделение - уникальным. Матрица E содержит информацию, которая не связана ни с каким эффектом. Разбиение дает следующие обозначения:

${\ Displaystyle Х = А + В + АВ + Е \,}$

Расчет оценки основного эффекта A (или B)

Найдите все строки, которые соответствуют уровню 1 эффекта A, и усредните эти строки. Результат - вектор . Повторите это для других уровней эффекта. Создайте новую матрицу того же размера X и поместите вычисленные средние в соответствующие строки. То есть присвойте всем строкам, которые соответствуют эффекту (т. Е.) A уровень 1, среднее значение эффекта A уровня 1. После завершения оценок уровня для эффекта выполните SCA. Баллы этого SCA являются выборочными отклонениями для эффекта, важные переменные этого эффекта находятся в весах вектора нагрузки SCA.

Расчет оценки эффекта взаимодействия AB

Оценка эффекта взаимодействия аналогична оценке основных эффектов. Разница в том, что для оценок взаимодействия строки, соответствующие эффекту A уровня 1, комбинируются с эффектом B уровня 1, и все комбинации эффектов и уровней проходят циклически. В нашем примере настройки с четырьмя временными точками и тремя уровнями дозировки есть 12 наборов взаимодействий {A1-B1, A1B2, A2B1, A2B2 и так далее}. Перед оценкой эффекта взаимодействия важно сдуть (удалить) основные эффекты.

SCA на разделах A, B и AB

Одновременный компонентный анализ математически идентичен PCA, но семантически отличается тем, что моделирует разные объекты или субъекты одновременно. Стандартные обозначения для моделей SCA и PCA:

${\ Displaystyle X = TP ^ {'} + E \,}$

где X - данные, T - баллы компонентов, а P - нагрузки компонентов. E - матрица невязок или ошибок . Поскольку ASCA моделирует вариационные разделы с помощью SCA, модель оценок эффекта выглядит следующим образом:

${\ displaystyle A = T_ {a} P_ {a} ^ {'} + E_ {a} \,}$

${\ Displaystyle B = T_ {b} P_ {b} ^ {'} + E_ {b} \,}$

${\ displaystyle AB = T_ {ab} P_ {ab} ^ {'} + E_ {ab} \,}$

${\ displaystyle E = T_ {e} P_ {e} ^ {'} + E_ {e} \,}$

Обратите внимание, что у каждого раздела есть своя собственная матрица ошибок. Однако алгебра диктует, что в сбалансированном наборе данных с центрированием среднего значения каждая двухуровневая система имеет ранг 1. Это приводит к нулю ошибок, поскольку любая матрица ранга 1 может быть записана как произведение оценки одного компонента и вектора нагрузки.

Полная модель ASCA с двумя эффектами и взаимодействием, включая SCA, выглядит так:

Разложение:

${\ Displaystyle Х = А + В + АВ + Е \,}$

${\ displaystyle X = T_ {a} P_ {a} ^ {'} + T_ {b} P_ {b} ^ {'} + T_ {ab} P_ {ab} ^ {'} + T_ {e} P_ { e} ^ {'} + E_ {a} + E_ {b} + E_ {ab} + E_ {e} + E \,}$

Время как эффект

Поскольку «время» рассматривается как качественный фактор в разложении ANOVA, предшествующем ASCA, можно смоделировать нелинейную многомерную траекторию времени. Пример этого показан на рисунке 10 этого справочного материала.

Ссылки