Формат с плавающей запятой одинарной точности - Single-precision floating-point format
Формат с плавающей запятой одинарной точности (иногда называемый FP32 или float32 ) - это формат компьютерных чисел , обычно занимающий 32 бита в компьютерной памяти ; он представляет широкий динамический диапазон числовых значений с использованием точки с плавающей запятой .
Переменная с плавающей запятой может представлять более широкий диапазон чисел, чем переменная с фиксированной запятой той же разрядности за счет точности. Подписано 32-битное целое число , переменная имеет максимальное значение , равное 2 31 - 1 = 2147483647, в то время как 754 стандарта IEEE 32-битная база-2 переменная с плавающей точкой имеет максимальное значение (2 - 2 -23 ) × 2 127 ≈ 3.4028235 × 10 38 . Все целые числа с 7 или менее десятичными знаками и любые 2 n для целого числа −149 ≤ n ≤ 127 могут быть точно преобразованы в значение с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754.
В IEEE 754-2008 стандарт , формат 32-битная база-2 официально называется binary32 ; в IEEE 754-1985 он назывался синглом . IEEE 754 определяет дополнительные типы с плавающей запятой, такие как 64-битные представления с двойной точностью по основанию 2 и, в последнее время, представления с основанием 10.
Одним из первых языков программирования, предоставивших типы данных с плавающей запятой одинарной и двойной точности, был Фортран . До широкого принятия IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей запятой зависели от производителя компьютера и модели компьютера, а также от решений, принимаемых разработчиками языков программирования. Например, тип данных одинарной точности GW-BASIC был 32-битным форматом с плавающей запятой MBF .
Одинарная точность называется REAL в Fortran , SINGLE-FLOAT в Common Lisp , float в C , C ++ , C # , Java , Float в Haskell и Swift и Single в Object Pascal ( Delphi ), Visual Basic и MATLAB . Однако float в Python , Ruby , PHP и OCaml и single в версиях Octave до 3.2 относятся к числам с двойной точностью . В большинстве реализаций PostScript и некоторых встроенных системах единственная поддерживаемая точность - одинарная.
Форматы с плавающей запятой |
---|
IEEE 754 |
|
Другой |
Двоичный формат с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754: binary32
Стандарт IEEE 754 определяет binary32 как имеющий:
- Знаковый бит : 1 бит
- Ширина экспоненты : 8 бит
- Существенная точность : 24 бита (23 сохранены явно)
Это дает точность от 6 до 9 десятичных знаков . Если десятичная строка с не более чем 6 значащими цифрами преобразована в представление с одинарной точностью IEEE 754, а затем преобразована обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, окончательный результат должен соответствовать исходной строке. Если число с одинарной точностью IEEE 754 преобразовано в десятичную строку, содержащую не менее 9 значащих цифр, а затем преобразовано обратно в представление с одинарной точностью, окончательный результат должен соответствовать исходному числу.
Бит знака определяет знак числа, который также является знаком мантиссы. Показатель степени представляет собой 8-битовое целое число без знака от 0 до 255 в смещенной форме : значение степени 127 представляет фактический ноль. Экспоненты находятся в диапазоне от -126 до +127, поскольку показатели степени -127 (все нули) и +128 (все единицы) зарезервированы для специальных чисел.
Истинное значение включает 23 дробных бита справа от двоичной точки и неявный ведущий бит (слева от двоичной точки) со значением 1, если показатель степени не сохранен со всеми нулями. Таким образом , только 23 фракций бит мантисс появляются в формате память, но общая точность 24 бита (эквивалент для входа 10 (2 24 ) ≈ 7.225 десятичных цифр). Биты расположены следующим образом:
Действительное значение, принимаемое заданными 32-битными двоичными 32 данными с заданным знаком , смещенной экспонентой e (8-битное целое число без знака) и 23-битной дробью, равно
- ,
который дает
В этом примере:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
таким образом:
- .
Примечание:
- ,
- ,
- ,
- .
Экспонентное кодирование
Двоичная экспонента с плавающей запятой одинарной точности кодируется с использованием двоичного представления смещения с нулевым смещением 127; также известный как смещение экспоненты в стандарте IEEE 754.
- E мин = 01 H −7F H = −126
- E макс = FE H −7F H = 127
- Смещение экспоненты = 7F H = 127
Таким образом, чтобы получить истинную экспоненту, как определено двоичным представлением смещения, смещение 127 должно быть вычтено из сохраненной экспоненты.
Сохраненные экспоненты 00 H и FF H интерпретируются особым образом.
Экспонента | фракция = 0 | дробь ≠ 0 | Уравнение |
---|---|---|---|
00 H = 00000000 2 | ± ноль | субнормальное число | |
01 H , ..., FE H = 00000001 2 , ..., 11111110 2 | нормальное значение | ||
FF H = 11111111 2 | ± бесконечность | NaN (тихо, сигнализирует) |
Минимальное положительное нормальное значение равно, а минимальное положительное (субнормальное) значение .
Преобразование из десятичного представления в формат binary32
В общем, обратитесь к самому стандарту IEEE 754 для строгого преобразования (включая поведение округления) действительного числа в его эквивалентный формат binary32.
Здесь мы можем показать, как преобразовать действительное число с основанием 10 в двоичный 32-формат IEEE 754, используя следующую схему:
- Рассмотрим действительное число с целой и дробной частью, например 12,375.
- Преобразование и нормализация целой части в двоичную
- Преобразуйте дробную часть, используя следующую технику, как показано здесь.
- Добавьте два результата и настройте их, чтобы получить правильное окончательное преобразование.
Преобразование дробной части: Рассмотрим 0,375, дробную часть 12,375. Чтобы преобразовать его в двоичную дробь, умножьте дробь на 2, возьмите целую часть и повторите с новой дробью на 2, пока не будет найдена дробная часть, равная нулю, или пока не будет достигнут предел точности, который составляет 23 цифры дробной части для формата IEEE 754 binary32. .
- , целая часть представляет собой двоичную дробную цифру. Чтобы продолжить, умножьте 0,750 на 2.
- , дробь = 0,011, конец
Мы видим, что это может быть точно представлено в двоичном формате как . Не все десятичные дроби могут быть представлены в виде конечной двоичной дроби. Например, десятичное число 0,1 не может быть точно представлено в двоичном формате, оно может быть только приближенным. Следовательно:
Поскольку для формата binary32 стандарта IEEE 754 требуется, чтобы реальные значения были представлены в формате (см. Нормализованное число , Денормализованное число ), 1100.011 сдвигается вправо на 3 цифры, чтобы стать
Наконец, мы видим, что:
Из чего мы делаем вывод:
- Показатель степени равен 3 (и, следовательно, в смещенной форме )
- Дробь равна 100011 (если смотреть справа от двоичной точки)
Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 для 12,375:
Примечание: подумайте о преобразовании 68,123 в двоичный 32-формат IEEE 754: используя описанную выше процедуру, вы ожидаете получить с последними 4 битами, равными 1001. Однако из-за поведения округления по умолчанию для формата IEEE 754, вы получите , чьи последние 4 бита равны 1010.
Пример 1: Рассмотрим десятичную дробь 1. Мы видим, что:
Из чего мы делаем вывод:
- Показатель степени равен 0 (и, следовательно, в смещенной форме )
- Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все )
Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в двоичном формате IEEE 754 действительного числа 1:
Пример 2: Рассмотрим значение 0,25. Мы это видим:
Из чего мы делаем вывод:
- Показатель степени равен −2 (и в смещенной форме это так )
- Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все нули)
Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в формате binary32 IEEE 754 действительного числа 0,25:
Пример 3: Рассмотрим значение 0,375. Мы видели это
Следовательно, после определения представления 0,375, мы можем продолжить, как указано выше:
- Показатель степени равен −2 (и в смещенной форме это так )
- Дробь равна 1 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.1, это одно )
Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в формате binary32 IEEE 754 действительного числа 0,375:
Примеры одинарной точности
Эти примеры даны в битовом представлении , в шестнадцатеричном и двоичном формате значения с плавающей запятой. Это включает знак, (смещенную) экспоненту и значащую.
0 00000000 000000000000000000000012 = 0000 000116 = 2−126 × 2−23 = 2−149 ≈ 1.4012984643 × 10−45 (smallest positive subnormal number)
0 00000000 111111111111111111111112 = 007f ffff16 = 2−126 × (1 − 2−23) ≈ 1.1754942107 ×10−38 (largest subnormal number)
0 00000001 000000000000000000000002 = 0080 000016 = 2−126 ≈ 1.1754943508 × 10−38 (smallest positive normal number)
0 11111110 111111111111111111111112 = 7f7f ffff16 = 2127 × (2 − 2−23) ≈ 3.4028234664 × 1038 (largest normal number)
0 01111110 111111111111111111111112 = 3f7f ffff16 = 1 − 2−24 ≈ 0.999999940395355225 (largest number less than one)
0 01111111 000000000000000000000002 = 3f80 000016 = 1 (one)
0 01111111 000000000000000000000012 = 3f80 000116 = 1 + 2−23 ≈ 1.00000011920928955 (smallest number larger than one)
1 10000000 000000000000000000000002 = c000 000016 = −2 0 00000000 000000000000000000000002 = 0000 000016 = 0 1 00000000 000000000000000000000002 = 8000 000016 = −0 0 11111111 000000000000000000000002 = 7f80 000016 = infinity 1 11111111 000000000000000000000002 = ff80 000016 = −infinity 0 10000000 100100100001111110110112 = 4049 0fdb16 ≈ 3.14159274101257324 ≈ π ( pi ) 0 01111101 010101010101010101010112 = 3eaa aaab16 ≈ 0.333333343267440796 ≈ 1/3 x 11111111 100000000000000000000012 = ffc0 000116 = qNaN (on x86 and ARM processors) x 11111111 000000000000000000000012 = ff80 000116 = sNaN (on x86 and ARM processors)
По умолчанию 1/3 округляется в большую сторону , а не в меньшую, как при двойной точности , из-за четного числа бит в мантиссе. Биты на 1/3 за точкой округления 1010...
составляют более 1/2 единицы в последнем месте .
Кодировки qNaN и sNaN не указаны в IEEE 754 и по-разному реализованы на разных процессорах. Семейство x86 и процессоры семейства ARM используют старший бит значимого поля для обозначения тихого NaN. Процессоры PA-RISC используют этот бит для указания NaN сигнализации.
Преобразование двоичного числа с одинарной точностью в десятичное
В этом примере мы начнем с шестнадцатеричного представления значения 41C80000 и преобразуем его в двоичное:
затем мы разбиваем его на три части: бит знака, показатель степени и значащая величина.
- Знаковый бит:
- Показатель:
- Значение:
Затем мы добавляем неявный 24-й бит к мантиссе:
- Значение:
и декодируем значение экспоненты вычитанием 127:
- Необработанная экспонента:
- Расшифрованная экспонента:
Каждый из 24 бит мантиссы (включая неявный 24-й бит), от бита 23 до бита 0, представляет собой значение, начинающееся с 1 и уменьшающееся вдвое для каждого бита, как показано ниже:
bit 23 = 1 bit 22 = 0.5 bit 21 = 0.25 bit 20 = 0.125 bit 19 = 0.0625 bit 18 = 0.03125 . . bit 0 = 0.00000011920928955078125
Мантисса в этом примере имеет три установленных бита: бит 23, бит 22 и бит 19. Теперь мы можем декодировать мантиссу, складывая значения, представленные этими битами.
- Расшифрованное значение:
Затем нам нужно умножить с основанием 2 на степень экспоненты, чтобы получить окончательный результат:
Таким образом
Это эквивалентно:
где s - знаковый бит, x - показатель степени, а m - значение.
Ограничения точности десятичных значений в [1, 16777216]
- Десятичные числа от 1 до 2: фиксированный интервал 2 −23 (1 + 2 −23 - следующее по величине число с плавающей запятой после 1)
- Десятичные числа от 2 до 4: фиксированный интервал 2 −22
- Десятичные числа от 4 до 8: фиксированный интервал 2 −21
- ...
- Десятичные числа от 2 n до 2 n + 1 : фиксированный интервал 2 n-23
- ...
- Десятичные числа от 2 22 = 4194304 до 2 23 = 8388608: фиксированный интервал 2 −1 = 0,5
- Десятичные числа от 2 23 = 8388608 до 2 24 = 16777216: фиксированный интервал 2 0 = 1
Ограничения точности для целочисленных значений
- Целые числа от 0 до 16777216 могут быть точно представлены (также применимо к отрицательным целым числам от -16777216 до 0)
- Целые числа от 2 24 = 16777216 до 2 25 = 33554432 округляются до кратного 2 (четного числа).
- Целые числа от 2 25 до 2 26 округляются до кратного 4
- ...
- Целые числа от 2 n до 2 n + 1 округлить до кратного 2 n-23
- ...
- Целых между 2 127 и 2 128 раундом кратными 2 104
- Целые числа больше или равные 2 128 округляются до «бесконечности».
Оптимизация
Конструкция формата с плавающей запятой допускает различные оптимизации, являющиеся результатом простой генерации аппроксимации логарифма с основанием 2 из целочисленного представления необработанного битового шаблона. Целочисленная арифметика и сдвиг битов могут дать приближение к обратному квадратному корню ( быстрый обратный квадратный корень ), что обычно требуется в компьютерной графике .
Смотрите также
- Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой (IEEE 754)
- ISO / IEC 10967 , арифметика, не зависящая от языка
- Примитивный тип данных
- Численная стабильность