Биекция, инъекция и сюръекция - Bijection, injection and surjection

	сюръективный	несюръективный
инъективный	биективный	только для инъекций
не- инъективный	только сюръективный	Общее

В математике , инъекция , сюръекция и биекции являются классами функций , отличающихся способом , в котором аргументы (входные выражения из области ) и изображения (выходные выражения из области значений ) связаны или отображенный на друг друг.

Функция отображает элементы из своего домена в элементы в его кодомене. Учитывая функцию : ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

Функция является инъективной или взаимно однозначной , если каждый элемент кодомена отображается не более чем одним элементом домена, или, что эквивалентно, если отдельные элементы домена отображаются на отдельные элементы в кодомене. Инъективная функция также называется инъекцией . Условно:

{\ displaystyle \ forall x, x '\ in X, f (x) = f (x') \ подразумевает x = x ',}

или, что то же самое (с использованием логического транспонирования ),

{\ displaystyle \ forall x, x '\ in X, x \ neq x' \ подразумевает f (x) \ neq f (x ').}

Функция является сюръективной или на , если каждый элемент codomain отображается по крайней мере одним элементом домена. То есть изображение и область значений функции равны. Сюръективная функция - это сюръекция . Условно:

{\ displaystyle \ forall y \ in Y, \ существует x \ in X {\ text {такой, что}} y = f (x).}

Функция биективен ( один-к-одному и на , взаимно-однозначное соответствие , или обратимо ) , если каждый элемент области значений сопоставлен с помощью точно один элемент домена. То есть функция одновременно инъективна и сюръективна. Биективная функция также называется биекцией . То есть, комбинируя определения инъективного и сюръективного,

{\ displaystyle \ forall y \ in Y, \ существует! x \ in X {\ text {такой, что}} y = f (x),}

где означает « существует ровно один

x

».

{\ Displaystyle \ существует! х}

В любом случае (для любой функции) выполняется следующее:

{\ displaystyle \ forall x \ in X \ существует! y \ in Y {\ text {такой, что}} y = f (x).}

Инъективная функция не обязательно должна быть сюръективной (не все элементы кодомена могут быть связаны с аргументами), а сюръективная функция не обязательно должна быть инъективной (некоторые изображения могут быть связаны с более чем одним аргументом). Четыре возможных комбинации инъективных и сюръективных признаков показаны на соседних диаграммах.

Инъекция

Инъективная композиция: вторая функция не обязательно должна быть инъективной.

Функция является инъективной ( взаимно однозначной ), если каждый возможный элемент кодомена отображается не более чем одним аргументом. Точно так же функция является инъективной, если она отображает разные аргументы на разные изображения. Инъективная функция - это инъекция . Формальное определение следующее.

Функция инъективна, если для всех ,

{\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}

{\ displaystyle x, x '\ in X}

{\ Displaystyle f (x) = f (x ') \ Rightarrow x = x'.}

Ниже приведены некоторые факты, связанные с инъекциями:

Функция инъективна тогда и только тогда, когда она пуста или обратима слева ; то есть, существует функция такая , что функция тождества на X . Вот изображение . ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие f (X) \ to X}$ ${\ displaystyle g \ circ f =}$ ${\ displaystyle f (X)}$ ${\ displaystyle f}$
Поскольку каждая функция сюръективна, когда ее область значений ограничена ее изображением , каждая инъекция индуцирует биекцию на ее образ. Точнее, каждую инъекцию можно факторизовать как биекцию с последующим включением следующим образом. Позвольте быть с codomain, ограниченным его изображением, и пусть будет карта включения из в . Тогда . Двойная факторизация дается для сюрпризов ниже. ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle f_ {R} \ двоеточие X \ rightarrow f (X)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle i \ двоеточие f (X) \ to X}$ ${\ displaystyle f (X)}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle F = я \ CIRC F_ {R}}$
Композиция из двух инъекций снова является инъекцией, но если инъекционная, то можно сделать только вывод, что инъекционная (см. Рисунок). ${\ displaystyle g \ circ f}$ ${\ displaystyle f}$
Каждое вложение инъективно.

Surjection

Сюръективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной.

Функция сюръективна или на, если каждый элемент кодомена отображается как минимум одним элементом домена . Другими словами, каждый элемент кодомена имеет непустой прообраз . Эквивалентно функция сюръективна, если ее изображение совпадает с ее содоменом. Сюръективная функция - это сюръекция . Формальное определение следующее.

Функция сюръективна, если для всех существует такое, что

{\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}

{\ displaystyle y \ in Y}

{\ displaystyle x \ in X}

{\ displaystyle f (x) = y.}

Ниже приведены некоторые факты, относящиеся к сюрпризам:

Функция сюръективна тогда и только тогда, когда она обратима справа, то есть тогда и только тогда, когда существует функция, такая что тождественная функция на . (Это утверждение эквивалентно выбранной аксиоме .) ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до X}$ ${\ displaystyle f \ circ g =}$ ${\ displaystyle Y}$
Сворачивая отображение всех аргументов в заданное фиксированное изображение, каждая сюръекция индуцирует биекцию из фактор-множества своей области в ее кодобласть. Точнее, прообразы при F элементов изображений являются классами эквивалентности на качестве отношения эквивалентности на области , такие , что х и у являются эквивалентными , если и только они имеют один и тот же образ при . Поскольку все элементы любого из этих классов эквивалентности отображаются на один и тот же элемент области, это индуцирует взаимно однозначное соответствие между фактор-множеством этого отношения эквивалентности (набором классов эквивалентности) и образом (который является его кодобластью). когда пульсирует). Кроме того, F представляет собой композицию из канонической проекции от F до множества фактор, а взаимно однозначное соответствие между множеством фактор и кообласть . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$
Композиция двух сюръекций снова является сюръекцией, но если она сюръективна, то можно сделать только вывод, что она сюръективна (см. Рисунок). ${\ displaystyle g \ circ f}$ ${\ displaystyle g}$

Биекция

Биективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной, а вторая функция не обязательно быть инъективной.

Функция биективна, если она инъективна и сюръективна. Биективная функция также называется биекцией или взаимно однозначным соответствием . Функция биективна тогда и только тогда, когда каждое возможное изображение отображается ровно одним аргументом. Это эквивалентное условие формально выражается следующим образом.

Функция биективна, если для всех существует единственная такая, что

{\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}

{\ displaystyle y \ in Y}

{\ displaystyle x \ in X}

{\ displaystyle f (x) = y.}

Ниже приведены некоторые факты, относящиеся к предубеждениям:

Функция биективна тогда и только тогда, когда она обратима, то есть существует такая функция , что тождественная функция на X и тождественная функция на . Эта функция сопоставляет каждое изображение с его уникальным прообразом. ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до X}$ ${\ displaystyle g \ circ f =}$ ${\ displaystyle f \ circ g =}$ ${\ displaystyle Y}$
Композиция двух биекций снова является биекцией, но если это биекция, то можно сделать только вывод, что она инъективна и сюръективна (см. Рисунок справа и замечания выше относительно инъекций и сюръекций). ${\ displaystyle g \ circ f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$
Биекции из множества в себя образуют группу по композиции, называемую симметричной группой .

Мощность

Предположим, что кто-то хочет определить, что значит для двух наборов «иметь одинаковое количество элементов». Один из способов сделать это - сказать, что два набора «имеют одинаковое количество элементов», тогда и только тогда, когда все элементы одного набора могут быть объединены в пары с элементами другого таким образом, чтобы каждый элемент был соединен с ровно один элемент. Соответственно, можно определить два набора так, чтобы они «имели одинаковое количество элементов» - если между ними существует взаимное соответствие. В этом случае говорят, что оба набора имеют одинаковую мощность .

Точно так же можно сказать, что набор «имеет меньше или такое же количество элементов», как и набор , если есть инъекция от до ; можно также сказать, что набор «имеет меньше, чем количество элементов» в наборе , если есть инъекция от до , но не сопряжение между и . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Примеры

Важно указать домен и кодомен каждой функции, поскольку при их изменении функции, которые кажутся одинаковыми, могут иметь разные свойства.

Инъективное и сюръективное (биективное): Идентификационная функция id _X для каждого непустого множества X и, следовательно, в частности ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto x.}$; ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {+} \ to \ mathbf {R} ^ {+}: x \ mapsto x ^ {2}}$ , а значит, и его обратный ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {+} \ to \ mathbf {R} ^ {+}: x \ mapsto {\ sqrt {x}}.}$; Экспоненциальная функция (то есть экспоненциальная функция с его ограничивается областью значений его изображений), а следовательно , и его инвертировать натуральный логарифм ${\ displaystyle \ exp \ двоеточие \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^ {+}: x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {x}}$ ${\ displaystyle \ ln \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {+} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto \ ln {x}.}$

Инъективный и несюръективный: Экспоненциальная функция ${\ displaystyle \ exp \ двоеточие \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {x}.}$

Неинъективный и сюръективный: ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto (x-1) x (x + 1) = x ^ {3} -x.}$; ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ to [-1,1]: x \ mapsto \ sin (x).}$

Неинъективный и не-сюръективный: ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto \ sin (x).}$

Характеристики

Для каждой функции $F$ , подмножество $Х$ домена и подмножество $Y$ области значений, $X \subset F -1 (F (X))$ и $F (ф -1 (Y)) \subset Y$ . Если $F$ инъективно, то $X = F -1 (F (X))$ , и если $е$ сюръективна, то $F (F -1 (Y)) = Y$ .
Для каждой функции $h : X \to Y$ можно определить сюръекцию $H : X \to h (X): x \to h (x)$ и инъекцию $I : h (X) \to Y : y \to y$ . Отсюда следует, что . Это разложение единственное с точностью до изоморфизма . ${\ displaystyle h = I \ circ H}$

Теория категорий

В категории из наборов , инъекция, проекции и биекции точно соответствуют мономорфизмам , эпиморфизмы и изоморфизмам соответственно.

История

Инъективно-сюръективно-биективная терминология (как существительные, так и прилагательные) была первоначально введена французской группой Бурбаки до их широкого распространения.

Смотрите также

использованная литература

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
^ ^Б ^с ^д ^е ^е «инъективна, сюръективен и биективного» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f "Биекция, инъекция и сюръекция | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Фарлоу, SJ "Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции" (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f «6.3: Уколы, сюрпризы и би инъекции» . Математика LibreTexts . 2017-09-20 . Проверено 7 декабря 2019 .
^ «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предварительных пучков - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 .
^ Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

внешние ссылки

Самые ранние случаи использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимоисключении имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.

[:0-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .

[:1-2] Б ^с ^д ^е ^е «инъективна, сюръективен и биективного» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .

[:2-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f "Биекция, инъекция и сюръекция | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .

[:3-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Фарлоу, SJ "Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции" (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .

[:4-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f «6.3: Уколы, сюрпризы и би инъекции» . Математика LibreTexts . 2017-09-20 . Проверено 7 декабря 2019 .

[6] «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предварительных пучков - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 .

[7] Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

Languages

In other projects